Question

15．我國(guó)火星探測(cè)器計(jì)劃于2020年前后由長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南發(fā)射場(chǎng)發(fā)射人軌，直接送入地火轉(zhuǎn)移軌道．假設(shè)探測(cè)器到了火星附近，貼近火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)出探測(cè)器運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)以及運(yùn)行速率為v，不計(jì)周?chē)�其他天體的影響，萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求火星的質(zhì)量；
（2）設(shè)某星球的質(zhì)量為M，一個(gè)質(zhì)量為m的物體在離該星球球心r處具有的引力勢(shì)能公式為E_P=$\frac{GMm}{r}$（取物體離該星球無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零）．若一顆質(zhì)量為m'的衛(wèi)星繞火星做半徑為r₁的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后來(lái)因?yàn)樾枰�衛(wèi)星的軌道半徑變?yōu)閞₂，且r₁：r₂=1：2，求該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期與線(xiàn)速度的關(guān)系求出半徑，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解火星質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力公式求解星球的動(dòng)能，根據(jù)引力勢(shì)能表達(dá)式求出勢(shì)能，進(jìn)而求解機(jī)械能的表達(dá)式，從而求出該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能之比．

解答 解：（1）由T=$\frac{2πR}{v}$，可得火星半徑約R=$\frac{vT}{2π}$，
由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得火星的質(zhì)量M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得動(dòng)能為：${E}_{K}=\frac{GMm}{2r}$
引力勢(shì)能：${E}_{P}=-\frac{GMm}{r}$
故物體的機(jī)械能為：$E={E}_{K}+{E}_{P}=-\frac{GMm}{2r}$
可見(jiàn)：$E∝\frac{1}{r}$
故衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能之比：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\frac{2}{1}$
答：（1）火星的質(zhì)量為$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（2）該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能之比2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬(wàn)有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，本題重點(diǎn)是要利用好給定的引力勢(shì)能，能求出機(jī)械能的表達(dá)式，難度適中．