Question

（2011?南昌模擬）如圖所示，真空中有直角坐標(biāo)系xOy，P是坐標(biāo)中的一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)是（a，-b）．有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的質(zhì)點(diǎn)A從原點(diǎn)O沿y軸正方向以速度v₀射出，不計(jì)重力的影響．
（1）若在x≥0和y≥0的區(qū)域內(nèi)加一個(gè)垂直于坐標(biāo)系平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使質(zhì)點(diǎn)A能通過P點(diǎn)．試求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向以及質(zhì)點(diǎn)A從坐標(biāo)原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t；
（2）若在x軸上固定一個(gè)帶負(fù)電的點(diǎn)電荷C，使質(zhì)點(diǎn)A能保持速率不變，并通過P點(diǎn)．求點(diǎn)電荷C與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離和點(diǎn)電荷C所帶電荷量的大小，已知靜電力常量為k．

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，受到洛倫茲力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�由左手定則判斷B的方向．根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求出質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入第四象限后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由位移與速度求出時(shí)間，再求總時(shí)間．
（2）洛倫茲力不做功，不能改變質(zhì)點(diǎn)的速度大小．由題，使質(zhì)點(diǎn)A能保持速率不變，質(zhì)點(diǎn)應(yīng)以點(diǎn)電荷C為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)求出半徑．質(zhì)點(diǎn)由庫(kù)侖力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解點(diǎn)電荷C所帶電荷量的大�。�

解答：解：
（1）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R=

a

2

又有qv₀B=m

v 2 0

R

，解得B=

2mv0

qa

，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向外
在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的周期為T=

2πm

qB

=

πa

v0

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=

T

2

=

πa

2v0

質(zhì)點(diǎn)A出勻速磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2=

b

v0

則總時(shí)間t=t₁+t₂=

πa+2b

2v0

（2）應(yīng)以帶電的點(diǎn)電荷C為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，有
  （a-r）²+b²=r²
解得，r=

a2+b2

2a

故點(diǎn)電荷C與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為

a2+b2

2a

．
又有k

Qq

r2

=m

v 2 0

r

聯(lián)立解得Q=

(a2+b2)m v 2 0

2kaq

答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2mv0

qa

，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向外．質(zhì)點(diǎn)A從坐標(biāo)原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t=

πa+2b

2v0

；
（2）點(diǎn)電荷C與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為

a2+b2

2a

，點(diǎn)電荷C所帶電荷量的大小Q=

(a2+b2)m v 2 0

2kaq

．

點(diǎn)評(píng)：本題是磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)與電場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的比較，原理相同：分析受力，確定向心力的來源．根據(jù)幾何知識(shí)求軌跡半徑是關(guān)鍵．