Question

（18分）如圖所示，半徑為的 1/4光滑圓弧軌道最低點(diǎn)D與水平面相切，在D點(diǎn)右側(cè)處用長(zhǎng)為的細(xì)繩將質(zhì)量為的小球B（可視為質(zhì)點(diǎn)）懸掛于O點(diǎn)，小球B的下端恰好與水平面接觸，質(zhì)量為的小球A（可視為質(zhì)點(diǎn)）自圓弧軌道C的正上方H高處由靜止釋放，恰好從圓弧軌道的C點(diǎn)切入圓弧軌道，已知小球A與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù),細(xì)繩的最大張力,重力加速度為，試求：
 
（1）若，小球A到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)D時(shí)所受軌道的支持力；
（2）試討論在什么范圍內(nèi)，小球A與B發(fā)生彈性碰撞后細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)。

Answer 1

（1），方向豎直向上。（2）和

試題分析: （1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的速度為
對(duì)小球在從靜止上落到D點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律：   ①
在D點(diǎn)由牛頓第二定律：           ②
由①②得，方向豎直向上。
（2）設(shè)A與B碰前速度為，碰后A的速度為，B的速度為，
則A與B碰撞過(guò)程有：         ③
彈性碰撞滿足機(jī)械能守恒：           ④
由③④得A、B在碰撞過(guò)程中會(huì)發(fā)生速度交換。，      ⑤
A在由靜止到碰撞前過(guò)程由動(dòng)能定理有：  ⑥
若碰后B能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)，設(shè)小球B在最高處速度為，
則在最高處有：，得           ⑦
小球B在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩受力最大，則有        ⑧
小球B從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由動(dòng)能定理有： ⑨
聯(lián)立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：             ⑩
若A與B碰后B擺動(dòng)的最大高度小于，則細(xì)繩也始終處于拉直狀態(tài)，
則根據(jù)機(jī)械能守恒有：        ?
要保證A與B能發(fā)生碰撞，則          ?
聯(lián)立①④⑤⑥??解得：        ?
故小球A與B發(fā)生彈性碰撞后細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)的范圍：和