Question

一只小船在靜水中的速度為5m/s，河水流速為3 m/s，河寬為500 m，求下列各情況中，船頭的指向與河岸的夾角和過(guò)河時(shí)間.

?（1）船要以最小位移過(guò)河；

?（2）船要以最短時(shí)間過(guò)河；

?（3）船要到達(dá)正對(duì)岸下游100m處；

?（4）若船在靜水中的速度是m/s，則船要以最小位移過(guò)河，那么船頭航向與河岸成的夾角θ和過(guò)河位移s分別是多少？

Answer 1

（1）53°,125s   (2)90°,100s?(3)74.4°,104 s?(4)46.8°,500m

解析:

小船過(guò)河同時(shí)參與劃行運(yùn)動(dòng)和隨水流運(yùn)動(dòng)，設(shè)船頭航向與河岸成α角，如圖甲所示，

?（1）要使船以最小位移過(guò)河，船應(yīng)在B點(diǎn)靠岸.v_劃cosα=v_水，cosα==，α=53°,d=v_劃sinα·t，t===125s.(2)船要以最短時(shí)間過(guò)河，由t=得sinα=1時(shí)，t最小，則α=90°,且t_min=500/5s=100s.(3)船要在對(duì)岸下游100m靠岸，則（v_水-v_劃cosα)t=100,v_劃sinαt=500,即26cos²α+30cosα-10=0, cosα=7/26, sinα=25/26,則α=arccos-74.4°,t=104s.（4）若船的劃行速度為v_水= m/s，比水流速度小，所以船不可能垂直河岸到達(dá)對(duì)岸，一定在對(duì)岸下游靠岸.要使船以最小位移過(guò)河，必須使如圖乙所示中的α最大，根據(jù)正弦定理有,所以sinα=v_劃sinβ/v_水，當(dāng)sinβ=1，即β=90°時(shí)，α最大，這時(shí)過(guò)河位移最小為s_min,且sinθ=cosα=,所以θ=arcsin=46.8°,由正交分解有L=v_劃tcosα,s_min=.