Question

（2013?紅橋區(qū)一模）如圖所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌CD與EF間距為L(zhǎng)=l m，與水平夾角為θ=30°，導(dǎo)軌上端用導(dǎo)線CE連接（導(dǎo)軌和連接線電阻不計(jì)），導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.1T、方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根電阻為R=1Ω的金屬棒MN兩端有導(dǎo)電小輪擱在兩導(dǎo)軌上，棒上有吸水裝置P．取沿導(dǎo)軌向下為x軸正方向，坐標(biāo)原點(diǎn)在CE中點(diǎn)，開始時(shí)棒處在x=0位置（即與CE重合），棒的起始質(zhì)量不計(jì)．當(dāng)棒自靜止起下滑時(shí)，便開始吸水，質(zhì)量逐漸增大，設(shè)棒質(zhì)量的增大與位移x的平方根成正比，即m=k

x

，k為一常數(shù)，k=0.1kg/m．求：
（1）金屬棒下滑2m位移過程中，流過棒的電荷量是多少？
（2）猜測(cè)金屬棒下滑過程中做的是什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，并加以證明．
（3）金屬棒下滑2m位移時(shí)速度為多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出電路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電流大小，即可求得流過棒的電荷量；
（2）通過分析受力情況，來分析金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況：棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)，首先可以確定棒開始階段做加速運(yùn)動(dòng)，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化，棒在下滑過程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個(gè)變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大，如果兩個(gè)力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運(yùn)動(dòng)． 假設(shè)棒做的是勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的表達(dá)式，根據(jù)加速度，分析假設(shè)是否正確．
（3）根據(jù)第2問分析得知，棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，將x=2m代入加速度的表達(dá)式，求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解速度．

解答：解：（1）金屬棒下滑1m過程中，流過棒的電量為 
   q=

△Φ

R

=

BLx

R

=

0.1×1×2

1

C=0.2C
（2）由于棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)，因此首先可以確定棒開始階段做加速運(yùn)動(dòng)，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化．
如圖所示，棒在下滑過程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個(gè)變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大，如果兩個(gè)力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運(yùn)動(dòng)． 假設(shè)棒做的是勻加速運(yùn)動(dòng)，且設(shè)下滑位移x時(shí)的加速度為a_x，根據(jù)牛頓第二定律，有
   mgsinθ-F=ma_x，
 而安培力F=BIL=B

BLv

R

L=

B2L2v

R

所以mgsinθ-

B2L2v

R

=ma_x，
假設(shè)棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則瞬時(shí)速度v=

2axx

，由于m=k

x

，代入后得：k

x

gsinθ-

B2L2 2axx

R

=k

x

a_x，
則得kgsinθ-

B2L2 2ax

R

=ka_x，①
從上述方程可以看出的解a_x是一個(gè)定值，與位移x無關(guān)，這表明前面的假設(shè)成立，棒的運(yùn)動(dòng)確實(shí)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)．若a_x與位移x有關(guān)，則說明a_x是一個(gè)變量，即前面的假設(shè)不成立．
（3）為了求棒下滑2m時(shí)的速度，應(yīng)先求出棒的加速度．將題目給出的數(shù)據(jù)代①式得到
   0.1×10×

1

2

-

2 ×0.01×1

1

a

=0.1a
化簡(jiǎn)得 10a+

2

?

a

-50=0
令y=

a

，則得 y²+

2

y-50=0
解得，a=4.69m/s²
根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，v=

2axx

=

2×4.69×2

=4.33m/s
答：（1）金屬棒下滑2m位移過程中，流過棒的電荷量是0.2C．
（2）猜測(cè)金屬棒下滑過程中做的是做勻加速運(yùn)動(dòng)，證明如上．
（3）金屬棒下滑2m位移時(shí)速度為4.33m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題中運(yùn)用感應(yīng)電荷量公式q=

△Φ

R

求解電量．通過先猜測(cè)，再進(jìn)行證明，確定導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，體現(xiàn)了科學(xué)研究常用的思路．