Question

8．已知地球的質(zhì)量M，萬(wàn)有引力常量G，地球衛(wèi)星m圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，求衛(wèi)星的：
（1）加速度a：
（2）線(xiàn)速度v；
（3）角速度ω；
（4）周期T；
（5）動(dòng)能E_k；
（6）隨r減小，a，v，ω，T，E_k分別怎樣變化？
（7）求a，v，ω，T，E_k的極值．

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出等式表示出加速度、線(xiàn)速度、角速度、周期和動(dòng)能，根據(jù)物理量的表達(dá)式判斷與r的關(guān)系．

解答 解：已知地球的質(zhì)量M，萬(wàn)有引力常量G，地球衛(wèi)星m圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，
衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=ma=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
（1）加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
（2）線(xiàn)速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
（3）角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
（4）周期T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
（5）動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GmM}{2r}$
（6）隨r減小，a增大，v增大，ω增大，T減小，E_k增大，
（7）設(shè)地球半徑為R，
a的最大值是$\frac{GM}{{R}^{2}}$，v的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，ω的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，T的最小值是$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，E_k的最大值是$\frac{GmM}{2R}$，
答：（1）加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；（2）線(xiàn)速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；（3）角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
（4）周期T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；（5）動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GmM}{2r}$；（6）隨r減小，a增大，v增大，ω增大，T減小，E_k增大，
（7）a的最大值是$\frac{GM}{{R}^{2}}$，v的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，ω的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，T的最小值是$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，E_k的最大值是$\frac{GmM}{2R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求衛(wèi)星的線(xiàn)速度、周期、角速度、向心加速度，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律即可正確解題．