Question

荷蘭科學(xué)家惠更斯在研究物體碰撞問題時(shí)做出了突出的貢獻(xiàn)．惠更斯所做的碰撞實(shí)驗(yàn)可簡(jiǎn)化為：三個(gè)質(zhì)量分別為m₁、m₂、m₃的小球，半徑相同，并排懸掛在長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的三根平行繩子上，彼此相互接觸．現(xiàn)把質(zhì)量為m₁的小球拉開，上升到H高處釋放，如圖所示，已知各球間碰撞時(shí)同時(shí)滿足動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，且碰撞時(shí)間極短，H遠(yuǎn)小于L，不計(jì)空氣阻力．
（1）若三個(gè)球的質(zhì)量相同，則發(fā)生碰撞的兩球速度交換，試求此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期．
（2）若三個(gè)球的質(zhì)量不同，要使球1與球2、球2與球3相碰之后，三個(gè)球具有同樣的動(dòng)量，則m₁：m₂：m₃應(yīng)為多少？它們上升的高度分別為多少？

Answer 1

（1）球1與球2、球2與球3碰撞后速度互換，球3以球1碰球2前瞬間的速度開始上升到H高處，然后再擺回來與球2、球2與球1碰撞，使球1上升到H高處，此后，系統(tǒng)做到周期性運(yùn)動(dòng)，則T1=T3=2π

L g

，T=

1

2

(T1+T3)
由此可知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為：T=2π

L g

（2）由題意知三球碰后的動(dòng)量均相同，設(shè)為p，
則Ek=

p2

2m

，球2在與球3碰前具有動(dòng)量2p，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，對(duì)于球2與球3碰撞的情況應(yīng)有：

(2p)2

2m2

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₂：m₃=3：1
球1與球2碰前的動(dòng)量為3p，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

(3p)2

2m1

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₁：m₂=2：1
從而可得：m₁：m₂：m₃=6：3：1
設(shè)三球碰后上升的高度分別為H₁、H₂、H₃
球1碰前動(dòng)能E_K1=m₁gH，又E_K1=

(3p)2

2m1

，∴H₂=

9P2

2 m 21 g

球1碰后動(dòng)能E_K1=m₁gH₁，又E_K1=

p2

2m

，∴H2=

P2

2 m 21 g

從而可得：H1=

H

9

同理可得：H2=

4H

9

H₃=4H
答：（1）若三個(gè)球的質(zhì)量相同，則發(fā)生碰撞的兩球速度交換，T=2π

L g

．
（2）若三個(gè)球的質(zhì)量不同，要使球1與球2、球2與球3相碰之后，三個(gè)球具有同樣的動(dòng)量，則m₁：m₂：m₃=6：3：1．
它們上升的高度分別為

H

9

，

4H

9

，4H．