Question

7．如圖所示，為一透明材料做成的半圓柱形光學(xué)元件的橫截面，該透明材料的折射率為n=$\sqrt{2}$，半徑R=0.5m，讓一細(xì)光束垂直于AB邊界射入該光學(xué)元件中，要求光線經(jīng)半圓面全反射后能垂直AB面射出，求：
（Ⅰ）入射點(diǎn)距離圓心O的最小距離L；
（Ⅱ）當(dāng)入射點(diǎn)到圓心O的距離x在0＜x＜L的范圍內(nèi)變化時，求第一次從半圓面出射光線的折射角θ與x之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據(jù)公式sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射臨界角C．光束垂直于AB邊界射入該光學(xué)元件中經(jīng)半圓面全反射后能垂直AB面射出，入射角等于臨界角，再由幾何知識求L．
入射點(diǎn)距離圓心O的最小距離L；
（Ⅱ）當(dāng)入射點(diǎn)到圓心O的距離x在0＜x＜L的范圍內(nèi)變化時，作出光路圖，由折射定律求第一次從半圓面出射光線的折射角θ與x之間的關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)光線全反射臨界角為C，則 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
則 C=45°
如圖所示，要使光線垂直于AB面射出，則入射角應(yīng)為45°，故入射點(diǎn)距離圓心O的最小距離 L=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜L時，設(shè)光線的入射角為θ′，有 θ′＜45°
由折射定律有
  $\frac{sinθ}{sinθ′}$=n
由幾何關(guān)系有 sinθ′=$\frac{x}{R}$
故sinθ=2$\sqrt{2}$x
答：
（Ⅰ）入射點(diǎn)距離圓心O的最小距離L是$\frac{\sqrt{2}}{4}$m；
（Ⅱ）第一次從半圓面出射光線的折射角θ與x之間的關(guān)系是sinθ=2$\sqrt{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查幾何光學(xué)，掌握光的折射定律以及臨界角與折射率的大小關(guān)系，正確畫出光路圖是關(guān)鍵．