Question

20．如圖所示，矩形線圈的匝數(shù)為n，面積為S，電阻為r，線圈在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中繞OO′軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，外電路電阻為R．求：
（1）若從線圈處于中性面開始計時，寫出線圈中感應(yīng)電動勢的瞬時值表達式；
（2）在線圈由圖示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$的過程中，感應(yīng)電動勢的平均值是多大？

Answer 1

分析 （1）若從線圈處于中性面開始計時，電壓為正弦函數(shù)，依據(jù)e=E_msinωt可得線圈中感應(yīng)電動勢的瞬時值表達式．
（2）電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q應(yīng)用電流的有效值來表示，最大值E_m=nBSω，結(jié)合最大值和有效值的關(guān)系可得有效值，進而求解電熱．
（3）交變電動勢的平均值公式為E=n$\frac{△Φ}{△t}$，由此可得線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$的過程中，感應(yīng)電動勢的平均值．

解答 解：（1）從中性面開始，電壓為正弦函數(shù)：e=E_msinωt=nBS•ωsin （ωt）            
（2）產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的最大值為：E_m=nBSω
電動勢的有效值為：
E=$\frac{Em}{\sqrt{2}}$=$\frac{nBSω}{\sqrt{2}}$          
由閉合電路歐姆定律得，回路中電流的有效值為：
$I=\frac{E}{R+r}=\frac{nBSω}{\sqrt{2}（R+r）}$                  
線圈轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$所用的時間：
△t=$\frac{π}{2ω}$                 
該過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量為：
Q=I²R△t=$（\frac{nBSω}{\sqrt{2}（R+r）}）^{2}$×R×$\frac{π}{2ω}$=${\frac{π{n}^{2}R{B}^{2}{S}^{2}ω}{4（R+r）^{2}}}^{\;}$．
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$的過程中，磁通量的變化為：
△Φ=BS                                  
線圈轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$所用的時間△t=$\frac{π}{2ω}$
此過程中交變電動勢的平均值：
E=n$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{nBS}{\frac{π}{2ω}}$=$\frac{2ωBSn}{π}$．
答：
（1）若從線圈處于中性面開始計時，寫出線圈中感應(yīng)電動勢的瞬時值表達式e=nBS•ωsin （ωt）；
（2）在線圈由圖示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q=${\frac{π{n}^{2}R{B}^{2}{S}^{2}ω}{4{（R+r）}^{2}}}^{\;}$．
（3）線圈從圖示位置轉(zhuǎn)過$\frac{π}{2}$的過程中，感應(yīng)電動勢的平均值為$\frac{2ωBSn}{π}$．

點評 該題的關(guān)鍵是區(qū)分交流電的最大值，有效值，平均值，要特別明確在什么情況下應(yīng)該用什么值來計算，如電熱要用有效值，而求通過的電荷量要用平均值．