Question

13．滑雪運(yùn)動(dòng)中當(dāng)滑雪板壓在雪地時(shí)會(huì)把雪內(nèi)的空氣逼出來，在滑雪板和雪地之間形成暫時(shí)的“氣墊”從而減小雪地對(duì)滑雪板的摩擦，然后當(dāng)滑雪板的速度較小時(shí)，與雪地接觸時(shí)間超過某一時(shí)間就會(huì)陷下去，使得它們間的摩擦阻力增大．假設(shè)滑雪者的速度超過4m/s時(shí)，滑雪板與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)就會(huì)從0.25變?yōu)?.125．一滑雪者從傾角為θ=37⁰斜坡的A處由靜止開始自由下滑，滑至坡底B處（B處為一光滑小圓弧）后又滑上一段水平雪地，最后停在水平雪道BC上的某處．如圖所示，不計(jì)空氣阻力，已知AB長(zhǎng)14.8m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者從靜止開始到動(dòng)摩擦因數(shù)發(fā)生變化所經(jīng)歷的時(shí)間
（2）滑雪者到達(dá)B處的速度大小
（3）假如水平雪道BC的長(zhǎng)度只有99.2m（C處后面為懸崖），為了保證安全，從斜坡上靜止開始自由下滑時(shí)出發(fā)點(diǎn)離B點(diǎn)的距離不得超過多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度v₁=4m/s期間的加速度，再根據(jù)速度時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）再根據(jù)牛頓第二定律求出速度大于4m/s時(shí)的加速度，球心速度為4m/s之前的位移，從而得出加速度變化后的位移，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出滑雪者到達(dá)B處的速度．
（3）分析滑雪者的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律求解每個(gè)過程的加速度，再根據(jù)位移速度關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)滑雪者質(zhì)量為m，滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度v=4m/s期間，
由牛頓第二定律有：$mgsin{37^0}-{μ_1}mgcos{37^0}=m{a_1}$；
解得：${a_1}=4m/{s^2}$；
根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系可得：$t=\frac{v}{a_1}=1s$
（2）設(shè)滑雪者由靜止加速至4m/s期間的位移為x₁，隨后滑雪者的加速度為a₂，滑到B出的位移為x₂，
則根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=2m$；
根據(jù)牛頓第二定律可得：$mgsin{37^0}-{μ_2}mgcos{37^0}=m{a_2}$；
解得：${a_2}=5m/{s^2}$；
根據(jù)位移關(guān)系有：x₂=L-x₁=12.8m；
根據(jù)位移速度關(guān)系可得：$v_B^2-v_{\;}^2=2{a_2}{x_2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=12m/s；
（3）在水平面上滑行的最后一段位移為x₄，加速度大小為a₄，
根據(jù)牛頓第二定律可得：${a_4}={μ_1}g=2.5m/{s^2}$，
根據(jù)位移速度關(guān)系可得：0-v²=2a₄x₄，
解得：x₄=3.2m，
在水平面上滑行的前面一段為x₃，加速度大小為a₃
則：${a_3}={μ_2}g=1.25m/{s^2}$，
由于x₃=99.2m-3.2m=96m，
設(shè)在B點(diǎn)的速度為v_B′
根據(jù)位移速度關(guān)系可得：${v^2}-v_B^{/2}=2{a_3}{x_3}$，得：$v_B^/=16m/s$；
在斜坡上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二段運(yùn)動(dòng)的位移為x₂：
根據(jù)位移速度關(guān)系可得：$v_B^{/2}-{v^2}=2{a_2}{x_2}$；
得：x₂=24m
第一段位移為x₁v²=2a₁x₁，
得：x₁=2m，
則：x=x₁+x₂=26m．
答：（1）滑雪者從靜止開始到動(dòng)摩擦因數(shù)發(fā)生變化所經(jīng)歷的時(shí)間為1s；
（2）滑雪者到達(dá)B處的速度大小為12m/s；
（3）假如水平雪道BC的長(zhǎng)度只有99.2m（C處后面為懸崖），為了保證安全，從斜坡上靜止開始自由下滑時(shí)出發(fā)點(diǎn)離B點(diǎn)的距離不得超過26m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．