Question

如圖1所示，平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端放著垂直金屬板的靶MN．現(xiàn)在A、B板上加上如圖2所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢(shì)高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現(xiàn)有質(zhì)量為m的帶正電且電量為q的粒子束從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板的方向OO′先后射入．設(shè)粒子能全部打在靶MN上，而且所有粒子在AB間的飛行時(shí)間均為T，不計(jì)重力影響，試問：

（1）在距離靶MN的中心O′點(diǎn)多遠(yuǎn)的范圍內(nèi)有粒子擊中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件？
（3）電場(chǎng)力對(duì)每個(gè)擊中O′點(diǎn)的帶電粒子做的總功是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做曲線運(yùn)動(dòng)，由水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻變速運(yùn)動(dòng)，并根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）由第（1）問結(jié)果，根據(jù)偏轉(zhuǎn)位移小于等于間距的一半，即可求解；
（3）根據(jù)電場(chǎng)力做功相等，即可求解．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向始終作勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向作勻變速運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)粒子在t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)向下的側(cè)移最大．
先向下勻加速運(yùn)動(dòng)位移s1=

1

2

qu0

md

(

2T

3

)2，
此時(shí)速度為v1=at1=

quo

md

?

2T

3

．
然后向下勻減速運(yùn)動(dòng)位移s2=v1t2-

1

2

a

t

2 2

=(

quo

md

?

2T

3

)?

T

3

-

1

2

qu0

md

(

T

3

)2
所以：粒子向下的最大側(cè)位移為s=s1+s2=

7u0qT2

18md

當(dāng)粒子在t=nT+

2T

3

時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)向上側(cè)移最大．先向上勻加速運(yùn)動(dòng)后向上勻減速運(yùn)動(dòng)，再向下勻減速運(yùn)動(dòng)．
所以粒子打在靶子上時(shí)向上的最大側(cè)位移為s/=

1

2

qu0

md

(

T

3

)2=

qu0T2

18md

所以：在距靶子中心O′點(diǎn)下方

7u0qT2

18md

至上方

qu0T2

18md

范圍內(nèi)有粒子擊中．
（2）要使粒子能全部打在靶子上需滿足的條件為：

7u0qT2

18md

≤

d

2

，
化簡(jiǎn)得：uo≤

9md2

7qT2

 
（3）當(dāng)粒子出電場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)所有的粒子做的功都相同，為W=

1

2

m

v

2 y

=

q2T2 u 2 0

18md2

答：（1）在距靶子中心O′點(diǎn)下方

7u0qT2

18md

至上方

qu0T2

18md

范圍內(nèi)有粒子擊中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件：uo≤

9md2

7qT2

 ；
（3）電場(chǎng)力對(duì)每個(gè)擊中O′點(diǎn)的帶電粒子做的總功是

q2T2 u 2 0

18md2

．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何將運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解處理，理解分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，并知道做功的表達(dá)式及其正負(fù)．