Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標系。兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l。在第一、四象限有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子。在0～3t₀時間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）。已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時刻經(jīng)極板邊緣射入磁場。上述m、q、l、t₀、B為已知量。（不考慮粒子間相互影響及返回極板間的情況）

圖甲

圖乙

（1）求電壓U₀的大小。

（2）求時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑。

（3）何時進入兩板間的帶電粒子在磁場中的運動時間最短？求此最短時間。

 

Answer 1

分析：帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)，做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動。正確畫出運動軌跡。

解：（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動，t₀時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為，則有

①

qE=ma②

③

聯(lián)立①②③式，解得兩板間偏轉(zhuǎn)電壓為

④

（2）時刻進入兩板間的帶電粒子，前時間在電場中偏轉(zhuǎn)，后時間兩板間沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動。

帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為

⑤

帶電粒子離開電場時沿y軸負方向的分速度大小為

⑥

帶電粒子離開電場時的速度大小為

⑦

設帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，則有

⑧

聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式解得

⑨

（3）2t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中運動時間最短。帶電粒子離開電場時沿y軸正方向的分速度為

v_y′=at₀⑩

設帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為α，則

聯(lián)立③⑤⑩式解得

帶電粒子在磁場中運動軌跡如圖所示，圓弧所對的圓心角，所求最短時間為

帶電粒子在磁場中運動的周期為

聯(lián)立式得