Question

13．如圖所示半徑為R、r（R＞r）甲、乙兩圓形軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道（CD）相連，如小球從離地3R的高處A點(diǎn)由靜止釋放，可以滑過甲軌道，經(jīng)過CD段又滑上乙軌道后離開兩圓形軌道，小球與CD段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余各段均光滑．為使小球進(jìn)入圓形軌道并不脫離圓形軌道，試設(shè)計(jì)CD段的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 為避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，一種可能是越過乙軌道的最高點(diǎn)，根據(jù)乙軌道最高點(diǎn)臨界速度求出CD的臨界值．一種可能越過乙軌道的最低點(diǎn)，但是越不過乙軌道圓心的等高處，根據(jù)動(dòng)能定理求出CD的范圍．

解答 解：設(shè)CD的長(zhǎng)度為x，小球在乙軌道最高點(diǎn)的最小速度為：$v=\sqrt{gr}$；
小球要通過乙軌道最高點(diǎn)，則需滿足：$mg（3R-2r）μmgx≥\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，得：$x≤\frac{6R-5r}{2μ}$；
小球到乙軌圓心等高處之前再返回，則需滿足：mg（3R-r）-μmgx≤0；
且mg•3R-μmgx＞0，得：$\frac{3R-r}{μ}≤x≤\frac{3R}{μ}$；
故：CD$≤\frac{6R-5r}{2μ}$或$\frac{3R-r}{μ}≤CD≤\frac{3R}{μ}$
答：設(shè)計(jì)CD段的長(zhǎng)度滿足CD$≤\frac{6R-5r}{2μ}$或$\frac{3R-r}{μ}≤CD≤\frac{3R}{μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律，運(yùn)用兩規(guī)律解題時(shí)要合適地選擇研究的過程．為避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，一種可能是越過乙軌道的最高點(diǎn)，另一種可能越過乙軌道的最低點(diǎn)，但是越不過乙軌道圓心的等高處．