Question

11．如圖所示，在光滑的圓錐體頂端用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)懸掛一質(zhì)量為m的小球．圓錐體固定在水平面上不動(dòng)，其軸線(xiàn)沿豎直方向，母線(xiàn)與軸線(xiàn)之間的夾角為30°．小球以速度v繞圓錐體軸線(xiàn)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求
（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度；
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大�。�
（3）若使圓錐體對(duì)小球的支持力恰好為零，需要多大的線(xiàn)速度．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式求解向心加速度和向心力．
對(duì)小球分析，當(dāng)小球的線(xiàn)速度達(dá)到最大時(shí)，對(duì)圓錐體表面的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的最大線(xiàn)速度．

解答 解：（1）小球以速度v繞圓錐體軸線(xiàn)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為：r=$\frac{1}{2}$L，
根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式得向心加速度為：a=$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
（2）根據(jù)牛頓第二定律得向心力大小為：F=ma=m$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
（3）當(dāng)角速度達(dá)到最大時(shí)，對(duì)圓錐體表面的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtan30°=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$，
答：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度是$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小是m$\frac{{2v}^{2}}{L}$；
（3）若使圓錐體對(duì)小球的支持力恰好為零，需要的線(xiàn)速度是$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)，即小球?qū)�圓錐面的壓力為零，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．