Question

我國(guó)于1984年4月8日成功發(fā)射了一顆同步軌道（也叫靜止軌道）通信衛(wèi)星，8天后定位于東經(jīng)125°的赤道上空，成為少數(shù)幾個(gè)能獨(dú)立發(fā)射同步衛(wèi)星的國(guó)家之一.已知地球表面的重力加速度g=9.8 km/s，地球半徑R=6 400 km，月球公轉(zhuǎn)周期為T′=27 d，月球軌道半徑R′≈60R，試求地球同步衛(wèi)星距地面的高度和運(yùn)行速度.

Answer 1

解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，離地高度為h，其公轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同為T=1 d=86 400 s，由于地球?qū)ν�步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供了衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因此有：

所以①

根據(jù)地面物體所受重力近似等于所受地球的萬(wàn)有引力，有：GM=gR²②

由①②式得同步衛(wèi)星離地高度：③

將g=9.8 m/s²，R=6.4×10⁶ m，T=8.64×10⁴ s

代入③式得：h≈3.6×10⁷ m④

同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度為：⑤

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入⑤式解得：v≈3.1 km/s.

方法歸納 本題中根據(jù)地面或地面附近物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力得出的導(dǎo)出式GM=gR²（通常稱(chēng)為“黃金代換”），在今后關(guān)于人造衛(wèi)星的計(jì)算中，會(huì)經(jīng)常被用到，應(yīng)引起關(guān)注.

巧妙變式 本題還可以應(yīng)用開(kāi)普勒定律求離地高度：因?yàn)樵虑蚝屯�步衛(wèi)星都圍繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，所以有：

因?yàn)?I >R′≈60R，T=1 d，T′≈27 d，

所以，

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