Question

如圖，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半，內(nèi)壁A點(diǎn)上有一質(zhì)量為m的小物塊．
①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求物塊靜止在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力和支持力的大小？
②當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，求筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小？
③若H=0.075m，R=0.1m，物體隨筒一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)并保持相對(duì)靜止時(shí)，物體受到的摩擦力大小為其重力的一半，求筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用，根據(jù)平衡條件求解．角度由數(shù)學(xué)知識(shí)求出．
（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，由重力和支持力的合力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律求解．
（3）靜摩擦力方向可能向上也可能向下，根據(jù)向心力公式列式即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
   由平衡條件得
     摩擦力的大小：f=mgsinθ=

mgH

H2+R2

支持力的大�。篘=mgcosθ=

mgR

H2+R2

（2）當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，物塊在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω有
   mgtanθ=mω²

R

2

由幾何關(guān)系得  tanθ=

H

R

聯(lián)立解得ω=

2gH

R

（3）若摩擦力方向沿斜面向上，則有：
豎直方向：Ncosθ+fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω²r
其中f=

1

2

mg，r=

R

2

解得：ω=5 rad/s
若摩擦力方向沿斜面向下，則有：
豎直方向：Ncosθ-fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω²r
其中f=

1

2

mg，r=

R

2

解得：ω=5

11

 rad/s
答：①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大小為

mgH

H2+R2

，支持力的大小為

mgR

H2+R2

；
②當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為

2gH

R

；
③若H=0.075m，R=0.1m，物體隨筒一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)并保持相對(duì)靜止時(shí)，物體受到的摩擦力大小為其重力的一半，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為5 rad/s或5

11

 rad/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐擺類型．關(guān)于向心力應(yīng)用的基本方程是：指向圓心的合力等于向心力，其實(shí)是牛頓第二定律的特例．