Question

8．傾角θ=30^o、長L=2.7m的斜面，底端與一個光滑的四分之一圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平，一質(zhì)量m=1kg的小滑塊從斜面最高處的A點由靜止沿斜面下滑，經(jīng)過斜面底端B恰好到達圓弧軌道最高點C；又沿圓弧折返，恰好能到達斜面上的D點處，再從D點滑下，小滑塊如此往復(fù)運動，最后停在B點，已知滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²，求：
（1）滑塊第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點時對軌道的壓力；
（2）滑塊從A到D的運動過程中重力勢能的變化量．

Answer 1

分析 （1）滑塊從C到B過程只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律列式可以求解B點的速度；滑塊在B點時，由重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求解支持力，最后根據(jù)牛頓第三定律得到壓力．
（2）對A到B過程和B到D過程分別運用動能定理列式，求出第一次返回的位移，最后得到重力勢能的改變情況．

解答 解：（1）設(shè)圓弧半徑為R，質(zhì)點在B點的速度為v，以地面為參考平面，在質(zhì)點從C到B的過程中，由機械能守恒定律有：
  $mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                     
在B點，由牛頓第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$       
解得：F_N=3mg=30N 
由牛頓第三定律可知，滑塊第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點時對軌道的壓力為30N．
（2）設(shè)質(zhì)點第一次從B點沿斜面上滑的速度為v₁，B點到D點的距離為L₁，由動能定理得：
 從A到B的過程，有：mgLsin30°-μmgLcos30°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$                  
從B到D的過程，有：-mgL₁sin30°-μmgL₁cos30°=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$       
解得：L₁=0.9m
所以滑塊從A到D的運動過程中重力勢能的變化量為：
△E_p=mg（L₁-L）sin30°=-9J
答：（1）滑塊第一次經(jīng)過圓弧軌道最低點時對軌道的壓力是30N；
（2）滑塊從A到D的運動過程中重力勢能的變化量是-9J．

點評 本題是單個物體多過程問題．涉及到牛頓運動定律在圓周運動中的應(yīng)用、動能定理和機械能守恒定律的應(yīng)用，運用動能定理要靈活選擇研究的過程，本題也可以對A到C再到D的整個過程運用動能定理，求解L₁．