Question

（2009?閔行區(qū)二模）當(dāng)物體從高空下落時，空氣對物體的阻力會隨物體的速度增大而增大，因此，物體下落一段距離后將會勻速下落，這個速度被稱為物體下落的收尾速度．研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條件下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑及質(zhì)量有關(guān)．下表是某次研究的實驗數(shù)據(jù)：

小球	A	B	C	D	E
小球半徑r（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2.0	2.5
小球質(zhì)量m（×10-6Kg）	2	5	45	40	100
小球收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

對表中數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：

小球	A	B	C	D	E
數(shù)據(jù) 比值	16×0．52 2 =2	40×0．52 5 =2	40×1．52 45 =2	20×22 40 =2	32×2．52 100 =2

（1）試根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出B、C兩球在達到收尾速度時，所受的空氣阻力比為

1：9

．
（2）試根據(jù)表中數(shù)據(jù)，歸納出球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關(guān)系式（寫出表達式、比例系數(shù)及其歸納運算過程）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)結(jié)尾速度相同時，小球做勻速運動，重力等于阻力，所以編號為2、3的小球在達到收尾速度時所受的空氣阻力之比等于他們的重力之比．
（2）對表中數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：vr² 與m成正比，由收尾速度時 f=mg   得f與m、vr² 成正比即：f=kvr²，然后求出比例系統(tǒng)k，由歸納法得出結(jié)論．

解答：解：（1）編號為2、3的小球在達到收尾速度時所受的空氣阻力之比f₂：f₃=m₂g：m₃g=1：9．
（2）對表中數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：
即：

r2v

m

=2即    vr² 與m成正比     
由收尾速度時 f=mg   得f與m、vr² 成正比
 即：f=kvr²
求比例系數(shù)K：K=

mg

vr2

對A小球，K=

mAg

vArA2

=

2×10

16×0.52

=5（Ns/m³），
對B小球，

mBg

vBrB2

=

5×10

40×0.52

=5（Ns/m³），
對C小球，

mCg

vCrC2

=

45×10

40×1.52

=5（Ns/m³），
由歸納法得：k=5（Ns/m³），所以    f=5vr²．
答：（1）1：9；（2）球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關(guān)系式為  f=5vr²．

點評：本題考查收尾速度、小球半徑以及阻力的關(guān)系，關(guān)鍵知道物體達到收尾速度時重力等于阻力，要學(xué)會應(yīng)用控制變量法解題，還要學(xué)會分析數(shù)據(jù)．