Question

9．xy平面為一光滑水平面，在x＞0，y＞0的空間區(qū)域內有平行于xy平面的勻強電場，場強大小為E=100V/m；在x＞0，y＜3m的區(qū)域內同時有垂直于xy平面的磁場，一質量m=2×10^-6kg、電荷量大小為q=2×10^-7C的帶負電粒子從坐標原點O以一定的初動能入射，在電場和磁場的作用下發(fā)生偏轉，到達P（4，3）點時，動能變?yōu)槌鮿幽艿?.2倍，速度方向垂直于OP．最后，粒子從y軸上y=5m的M點射出電場，動能變?yōu)槌鮿幽艿?.52倍，求：
（1）OP連線上與M點等電勢的點的坐標；
（2）粒子由P點運動到M點所需的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子運動過程中，洛倫茲力不做功，只有電場力做功，根據(jù)動能定理求解，根據(jù)電勢差的定義式求出O點與P點、M點間的電勢差．由公式U=Ed，求出OD，由數(shù)學知識可得解．
（3）帶電粒子從P到M過程中的運動，由運動的分解法，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合求解．

解答 解：（1）設粒子在P點時的動能為E_k，則初動能為5E_k，在M點的動能為2.6E_k．
由于洛倫茲力不做功，粒子從O點到P點和從P點到M點的過程中，電場力做的功大小分別為W₁、W₂
由動能定理得：
-W₁=E_k-5E_k
  W₂=2.6E_k-E_k
則  W₁：W₂=5：2                       
O點和P點及M點的電勢差分別為：U_OP=$\frac{{4E}_{k}}{q}$，U_OM=$\frac{2.4{E}_{k}}{q}$   
設OP連線上與M點電勢相等的點為D，則${U}_{OD}=\frac{2.4{E}_{K}}{q}$，由幾何關系得OP的長度為5m，因U_OP=$\frac{{4E}_{k}}{q}$，U_OM=$\frac{2.4{E}_{k}}{q}$   
則OD=3m，DP=2m
沿OP方向電勢下降．則：$\frac{OD}{OP}=\frac{DN}{PA}=\frac{ON}{OA}$
解得DN=1.8m，ON=2.4m，即D坐標為 （2.4 m，1.8 m）
（2）OP與X軸的夾角α，則：sinα=$\frac{3}{5}$
由于OD=3 m  而OMcos∠MOP=3 m  所以MD垂直于OP
由于MD為等勢線，因此OP為電場線，方向從O到P　　
帶電粒子從P到M過程中做類平拋運動，設運動時間為t，在x軸方向上
則DP=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
又，DP=OP-OD=2m
解得：t=0.2s
答：
（1）OP連線上與M點等電勢的點的坐標是（2.4 m，1.8 m）；
（3）粒子由P點運動到M點所需的時間是0.2s

點評 本題是帶電粒子在復合場中運動的類型，畫出磁場中運動軌跡，電場中運用運動的分解都是常規(guī)方法，要能靈活運用幾何知識求解磁場中空間尺寸．