Question

如圖甲所示，帶正電的粒子以水平速度v從平行金屬板MN間中線OO^′連續(xù)射入電場(chǎng)中，MN板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓U_MN，電壓變化周期T=0.1s，兩板間電場(chǎng)可看做均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)．緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，分界線為CD，AB為熒光屏．金屬板間距為d，長(zhǎng)度為l，磁場(chǎng)B的寬度為d．已知：B=5×10^-3T，l=d=0.2mv=10⁵m/s，帶正電的粒子的比荷為=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)．試求：

（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度；
（3）帶電粒子打在熒光屏AB上的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
帶電粒子從平行板邊緣射出時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，獲得的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫出可能的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系求解．
解答：解：（1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有qvB=
r_min=
（2）因帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)時(shí)間t=s＜T
所以帶電粒子通過(guò)電場(chǎng)過(guò)程中可認(rèn)為電場(chǎng)恒定不變．
設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子能從N板右邊緣飛出，


在電壓低于或等于100V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場(chǎng)，故U₁=100V時(shí)，
帶電粒子射出電場(chǎng)速度最大，q
解得：

（3）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最小，打在熒光屏上最高點(diǎn)E，
O′E=r_min=0.2m
從N板右邊緣射出粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最大，

解得：
因，故tanθ=，θ=45°，

O₂P=2×==0.2m=r_max
所以從P點(diǎn)射出粒子軌跡圓心O₂正好在
熒光屏上且O₂與M板在同一水平線上，0′O₂==0.1m，
O′F=
帶電粒子打在熒光屏AB上范圍為：
EF=O′E+O′F=0.38m
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為0.2m；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.41×10⁵m/s；
（3）帶電粒子打在熒光屏AB上的范圍為0.38m．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍．