Question

（20分）一個(gè)大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）�，F(xiàn)讓一長為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為，由靜止開始下落。試計(jì)算木棍到達(dá)最低處所需的時(shí)間。假定由于木棍運(yùn)動而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計(jì)，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運(yùn)動，未露出液面，也未與容器相碰。

Answer 1

解析：

1．用表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達(dá)兩液體交界面為止，在這過程中，木棍受向下的重力和向上的浮力。由牛頓第二定律可知，其下落的加速度

                                        （1）

用表示所需的時(shí)間，則                

                                           （2）

由此解得

                                     （3）

2．木棍下端開始進(jìn)入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長度，這時(shí)木棍所受重力不變，仍為，但浮力變?yōu)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090720/20090720145515009.gif' width=137>．當(dāng)時(shí)，浮力小于重力；當(dāng)時(shí)，浮力大于重力，可見有一個(gè)合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時(shí)，木棍在上面液體中的長度，則此時(shí)有

                （4）

由此可得

                                              （5）

即木棍的中點(diǎn)處于兩液體交界處時(shí)，木棍處于平衡狀態(tài)，取一坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于交界面上，豎直方向?yàn)?IMG height=12 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090720/20090720145516015.gif' width=12>軸，向上為正，則當(dāng)木棍中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，木棍所受合力為零．當(dāng)中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，所受合力為

 

式中                                    （6）

這時(shí)木棍的運(yùn)動方程為

為沿方向加速度      

                                  （7）

由此可知為簡諧振動，其周期        （8）

為了求同時(shí)在兩種液體中運(yùn)動的時(shí)間，先求振動的振幅．木棍下端剛進(jìn)入下面液體時(shí)，其速度

                                             （9）

由機(jī)械能守恒可知

                        （10）

式中為此時(shí)木棍中心距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，由（1）、（3）、（9）式可求得，再將和（6）式中的代入（10）式得

   （11）

由此可知，從木棍下端開始進(jìn)入下面液體到棍中心到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖所示）上可知，對應(yīng)的為30°，對應(yīng)的時(shí)間為。因此木棍從下端開始進(jìn)入下面液體到上端進(jìn)入下面液體所用的時(shí)間，即棍中心從到所用的時(shí)間為

               （12）

3．從木棍全部浸入下面液體開始，受力情況的分析和1中類似，只是浮力大于重力，所以做勻減速運(yùn)動，加速度的數(shù)值與一樣，其過程和1中情況相反地對稱，所用時(shí)間

                                              （13）

4．總時(shí)間為

                 （14）