Question

如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對(duì)接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動(dòng)．彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出．已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，不計(jì)其它機(jī)械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）要使小球從d點(diǎn)拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？
（2）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v₀至少為多少時(shí)，小球經(jīng)過兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零．
（3）若v₀=3m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

分析：（1）小球離開d后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，只要下落3R過程水平位移超過R即碰不到軌道，然后利用動(dòng)能定理即可求解．
（2）在c點(diǎn)對(duì)小球進(jìn)行受力分析，依據(jù)向心力公式列方程，然后結(jié)合動(dòng)能定理即可求解．
（3）先判斷小球能否通過d點(diǎn)，若能通過根據(jù)平拋規(guī)律求解，若不能，根據(jù)功能關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)小球到達(dá)d點(diǎn)處速度為v_d，由動(dòng)能定理，得：
-mgμL-4mgR=

1

2

m 

v

2 d

-

1

2

m

v

2 0

    ①
如小球由d點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)剛好經(jīng)過圖中的O點(diǎn)，則有
3R=

1

2

gt2          ②
R=v_dt            ③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)值得：v0=

79 6

≈

13.1

m/s．
小球的初速度v₀需滿足：v0＞

13.1

m/s
故要使小球從d點(diǎn)拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足條件為：v0＞

13.1

m/s
（2）設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為v_c，由動(dòng)能定理，得
-μmgL-mg2R=

1

2

m

v

2 c

 -

1

2

m

v

2 0

      ④
當(dāng)小球通過c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：F+mg=m

v 2 c

R

    ⑤
要使軌道對(duì)地面的壓力為零，則有：F=Mg        ⑥
聯(lián)立④⑤⑥并代入數(shù)值，解得小球的最小速度：v₀=6 m/s  
故當(dāng)v₀至少為6m/s時(shí)，小球經(jīng)過兩半圓的對(duì)接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零．
（3）小球能通過d點(diǎn)，需滿足v_d≥0，由動(dòng)能定理：
-mgμL-4mgR=0-

1

2

m

v

2 0

得：v0=

13

m/s．
因v0=3m/s＜

13

m/s，小球過不了d點(diǎn)而沿軌道原路返回，對(duì)整個(gè)過程由動(dòng)能定理，有：
-μmgx=0-

1

2

m

v

2 0

得：x=2.25m
故小球最終停在a右側(cè)0.25m處．

點(diǎn)評(píng)：豎直平面的圓周運(yùn)動(dòng)往往結(jié)合能否完成圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件以及平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行考查，解題思路是正確受力分析列向心力方程，然后結(jié)合功能關(guān)系求解．