Question

如圖，豎直平面坐標系xoy的第一象限，有垂直xoy面向外的水平勻強磁場和豎直向上的勻強電場，大小分別為B和E；第四象限有垂直xoy面向里的水平勻強電場，大小也為E；第三象限內(nèi)有一絕緣光滑豎直放置的半徑為R的半圓軌道，軌道最高點與坐標原點O相切，最低點與絕緣光滑水平面相切于N．一質(zhì)量為m的帶電小球從y軸上（y＞0）的P點沿x軸正方向進入第一象限后做圓周運動，恰好通過坐標原點O，且水平切入半圓軌道并沿軌道內(nèi)側運動，過N點水平進入第四象限，并在電場中運動（已知重力加速度為g）．
（1）判斷小球的帶電性質(zhì)并求出其所帶電荷量；
（2）P點距坐標原點O至少多高；
（3）若該小球以滿足（2）中OP最小值的位置和對應速度進入第一象限，通過N點開始計時，經(jīng)時間t=2

R g

小球距坐標原點O的距離s為多遠？

Answer 1

分析：（1）小球進入第一象限正交的 電場和磁場后，在垂直磁場的 平面內(nèi)做圓周運動，說明重力與電場力平衡從而判定小球的電性和電量．
（2）設勻速圓周運動的 速度為v、軌道半徑為r由洛倫茲力提供向心力；小球恰能通過半圓軌道的 最高點并沿軌道運動，則應滿足重力恰好提供向心力，聯(lián)立即可求出P點距坐標原點O至少多高；
（3）小球由O運動到N的過程中由機械能守恒，小球從N點進入電場區(qū)域后，在絕緣光滑水平面上作類平拋運動．根據(jù)運動的類型，寫出相應的公式，就可以求解．

解答：解：（1）小球進入第一象限正交的 電場和磁場后，在垂直磁場的 平面內(nèi)做圓周運動，說明重力與電場力平衡．設小球所帶電荷量為q，則有：qE=mg（1）
解得：q=

mg

E

（2）
又電場方向豎直向上故小球帶正電．
（2）設勻速圓周運動的 速度為v、軌道半徑為r由洛倫茲力提供向心力得：qBv=

mv2

r

（3）
小球恰能通過半圓軌道的最高點并沿軌道運動，則應滿足：mg=

mv2

R

（4）
由（3）（4）得：r=

m gR

qB

（5）
即：PO的最小距離為：y=2r=2E

R g

（6）
（3）小球由O運動到N的 過程中設到達N點的速度為v_N，由機械能守恒得：mg2R=

1

2

m

v

2 N

-

1

2

mv2（7）
由（4）（7）解得：vN=

5gR

（8）
小球從N點進入電場區(qū)域后，在絕緣光滑水平面上作類平拋運動．設加速度為a，則有：
沿x軸方向有：x=v_Nt（9）
沿電場方向有：z=

1

2

at2（10）
由牛頓第二定律得：a=

qE

m

（11）
t時刻小球距O點為：s=

x2+z2+(2R)2

=2

7

R
答：（1）小球的帶正電，其所帶電荷量q=

mg

E

；
（2）P點距坐標原點O至少為

2E

B

R g

；
（3）經(jīng)時間t=2

R g

小球距坐標原點O的 距離2

7

R．

點評：該題中，設置的情景比較復雜，運動的過程較多，一定要理清運動的過程和各個過程中的受力以及做功的情況，再選擇合適的公式進行解題．