Question

18．在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B，物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，L為2.0m，凹槽與物塊的質(zhì)量均為m，兩者之間的動摩擦因數(shù)μ為0.05，開始時物塊靜止，凹槽以v₀=5m/s初速度向右運動，設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時間不計．g取10m/s²．
求：（1）物塊與凹槽相對靜止時的共同速度；
（2）從凹槽開始運動到兩者相對靜止物塊與左、右側(cè)槽壁碰撞的總次數(shù)；物塊B最終停在何處？
（3）從凹槽開始運動到兩者剛相對靜止所經(jīng)歷的時間及該時間內(nèi)凹槽運動的位移大�。�

Answer 1

分析 （1）碰撞過程中動量守恒，根據(jù)動量守恒定律列式即可求解速度；
（2）對整體根據(jù)動能定理求出A、B相對靜止時，A、B間的相對路程，然后求出碰撞次數(shù)與B的位置；
（3）設(shè)凹槽與物塊碰前的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v₁′、v₂′．根據(jù)動量守恒定律及能量守恒定律列式可知，每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標系上兩者的速度圖線，根據(jù)碰撞次數(shù)可分為13段，凹槽、物塊的v-t圖象在兩條連續(xù)的勻變速運動圖線間轉(zhuǎn)換，故可用勻變速直線運動規(guī)律求時間，凹槽的v-t圖象所包圍的陰影面積即為凹槽的位移大�。�

解答 解：（1）設(shè)兩者間相對靜止時的速度為v，設(shè)向右為正方向，
則由動量守恒定律得：mv₀=2mv，解得：v=2.5m/s；
（2）物塊與凹槽間的滑動摩擦力f=μN=μmg，
設(shè)兩者間相對靜止前，相對運動的路程為s₁，
由動能定理得：-fs₁=$\frac{1}{2}$•2mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：s₁=12.5m，
已知L=2m，物塊與左、右側(cè)槽壁碰撞的總次數(shù)是6次，
物塊B最終停在距左側(cè)槽臂的距離為：12.5-1-2×5=1.5m處．
（2）設(shè)凹槽與物塊碰前的速度分別為v₁、v₂，碰后的速度分別為v₁′、v₂′．
以槽的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：mv₁+mv₂=mv₁′+mv₂′，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂′²，
解得：v₁′=v₂，v₂′=v₁，即每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標系上兩者的速度圖線如圖所示，
根據(jù)碰撞次數(shù)可分為13段，凹槽、物塊的v-t圖象在兩條連續(xù)的勻變速運動圖線間轉(zhuǎn)換，
故可用勻變速直線運動規(guī)律求時間．則
v=v₀+at，a=-μg，
解得：t=5s
凹槽的v-t圖象所包圍的陰影面積即為凹槽的位移大小s₂．（等腰三角形面積共分13份，第一份面積為0.5L．其余每份面積均為L．）
s₂=$\frac{1}{2}$$\frac{{v}_{0}}{2}$t+6.5L=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×5+6.5×2=19.25m；
答：（1）物塊與凹槽相對靜止時的共同速度為2.5m/s；
（2）從凹槽開始運動到兩者相對靜止物塊與左、右側(cè)槽壁碰撞的總次數(shù)為6次；物塊B最終停在距左側(cè)槽臂的距離為1.5m處．
（3）從凹槽開始運動到兩者剛相對靜止所經(jīng)歷的時間為5s，該時間內(nèi)凹槽運動的位移大小為19.25m．

點評 本題主要考查了動量守恒定律、動能定理及能量守恒定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的運動情況，能根據(jù)題意畫出速度-時間圖象，難度適中．