Question

兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖l、圖2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）。在t=0時(shí)刻由負(fù)極板釋放一個(gè)初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力）。若電場(chǎng)強(qiáng)度E₀、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀、粒子的比荷均已知，且，兩板間距.

（1）求粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值。

（2）求粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑（用h表示）。

（3）若板間電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間的變化仍如圖1所示，磁場(chǎng)的變化改為如圖3所示，試畫(huà)出粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）。

Answer 1

解法一：

（1）設(shè)粒子在0-t₀時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移大小為s₁

         ①

           ②

又已知

聯(lián)立①②式解得

        ③

（2）粒子在t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)只受洛倫茲力作用，且速度與磁場(chǎng)方向垂直，所以粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)速度大小為v₁軌道半徑為R₁,周期為T(mén)，則

           ④

      ⑤

    聯(lián)立④⑤式得

           ⑥

    又    ⑦

即粒子在t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)恰好完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。在2t₀-3 t₀時(shí)間內(nèi)，粒子做初速度為v₁的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)位移大小為s₂

       ⑧

解得      ⑨

由于s₁+s₂<h，所以粒子在3t₀-4t₀時(shí)間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

設(shè)速度大小為v₂,半徑為R₂

          ⑩

         

    解得          

由于s₁+s₂+R₂<h，粒子恰好又完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)，在4t₀-5t₀時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)到正極板（如圖1所示）。因此粒子運(yùn)動(dòng)的最大半徑。

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示。

解法二：

由題意可知，電磁場(chǎng)的周期為2t₀，前半周期粒子受電場(chǎng)作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為

             方向向上

后半周期粒子受磁場(chǎng)作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)

粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)。至第n個(gè)周期末，粒子位移大小為

又已知   

由以上各式得   

粒子速度大小為  

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為  

解得   

顯然    

（1）粒子在0時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值 

（2）粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑  

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)得軌跡圖見(jiàn)解法一中的圖2。