Question

20．某實(shí)驗(yàn)小組用如圖甲所示的裝置做“驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”實(shí)驗(yàn)．
（1）圖乙為實(shí)驗(yàn)中選取的一條合適的紙帶，O點(diǎn)為打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的第一個(gè)點(diǎn)，A、B、C、D、E為打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的五個(gè)連續(xù)的點(diǎn)，測(cè)出這五點(diǎn)到O點(diǎn)的距離分別為x_A、x_B、x_C、x_D、x_E，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器所接交流電的頻率為f，當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g，若利用OD段驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律，要驗(yàn)證的表達(dá)式為gx_D=$\frac{（{x}_{E}-{x}_{C}）^{2}{f}^{2}}{8}$．
（2）如果采用此裝置測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度，可根�?jù)紙帶上的打點(diǎn)間隔算出打下每個(gè)點(diǎn)時(shí)重物運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，測(cè)出對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)物體下落的距離x，根據(jù)測(cè)得的距離x和算出的時(shí)間t，在平面直角坐標(biāo)系中做出$\frac{x}{t}$-t的圖象，如果圖線的斜率是k，則當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度�?k．

Answer 1

分析 根據(jù)物體下落，減小的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，那么由平均速度來(lái)求得瞬時(shí)速度，從而列出驗(yàn)證的表達(dá)式；
由機(jī)械能守恒得：mgx=$\frac{1}{2}$mv²，所以$\frac{{v}^{2}}{2}$=gx，即圖線是正比例函數(shù)圖線，則斜率表示重力加速度；
若作出$\frac{x}{t}$-t圖象，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即為平均速度與時(shí)間的圖象，則圖象的斜率表示重力加速度的一半．

解答 解：若利用OD段驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律，要驗(yàn)證的表達(dá)式為mgx_D=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$
即：gx_D=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{E}-{x}_{C}}{2}f$）²=$\frac{（{x}_{E}-{x}_{C}）^{2}{f}^{2}}{8}$，
若實(shí)驗(yàn)中算得動(dòng)能的增加量大于重力勢(shì)能的減少量，可能原因是先釋放紙帶再接通電．
（4）如果機(jī)械能守恒，由gh=$\frac{{v}^{2}}{2}$可知，則$\frac{{v}^{2}}{2}$-x圖線為一條過(guò)原點(diǎn)的斜的直線，圖線的斜率為當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g；如果機(jī)械能守恒，則重物做自由落體運(yùn)動(dòng)，則x=$\frac{1}{2}$gt²，
即有$\frac{x}{t}$=$\frac{1}{2}$gt，因此$\frac{x}{t}$-t圖線是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，圖線的斜率為當(dāng)?shù)刂亓�加速度的一半，�?\frac{g}{2}$．
如果圖線的斜率是k，則當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度�?k；
故答案為：gx_D=$\frac{（{x}_{E}-{x}_{C}）^{2}{f}^{2}}{8}$，2k．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了自由落體運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒的驗(yàn)證，用圖象處理數(shù)據(jù)是非常重要的數(shù)學(xué)手段．同時(shí)注意第2問(wèn)題：BC選項(xiàng)不一定是實(shí)驗(yàn)必須操作步驟，最后掌握平均速度與時(shí)間的圖象斜率與重力加速度的關(guān)系，是解題的難點(diǎn)．