Question

8．某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s．比賽時(shí)，某同學(xué)將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v₀時(shí)，再以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)跑至終點(diǎn)．整個(gè)過程中球一直保持在球拍中心不動(dòng)．比賽中，該同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示．設(shè)球在運(yùn)動(dòng)中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，不計(jì)球與球拍之間的摩擦，球的質(zhì)量為m，重力加速度為g．
（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；
（2）在加速跑階段，為使乒乓球相對(duì)球始終靜止，需隨時(shí)調(diào)整球拍傾角θ，求傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式；
（3）若該同學(xué)勻速跑階段球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應(yīng)滿足的條件．此時(shí)球所受空氣阻力可視為與球拍傾角為θ₀時(shí)的一樣．

Answer 1

分析 （1）在勻速運(yùn)動(dòng)階段，受力平衡，根據(jù)平衡條件列式即可求解；
（2）加速階段，設(shè)球拍對(duì)球的支持力為N′，根據(jù)牛頓第二定律即可求解；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的位移小于等于r時(shí)，球不從球拍上掉落，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）在勻速運(yùn)動(dòng)階段，有：mgtanθ₀=kv₀
得：k=$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$
（2）加速階段，設(shè)球拍對(duì)球的支持力為N′，有：
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀
（3）以速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)空氣阻力與重力的合力為F，有：F=$\frac{mg}{cos{θ}_{0}}$
球拍傾角為θ₀+β時(shí)，空氣阻力與重力的合力不變，設(shè)球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有：
Fsinβ=ma′
設(shè)勻速跑階段所用時(shí)間為t，有：t=$\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}$
球不從球拍上掉落的條件為：$\frac{1}{2}$a′t²≤r
得：sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g（{\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$
答：（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$；
（2）在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式為tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀；
（3）β應(yīng)滿足的條件為sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g{（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確受力分析，難度適中．