Question

如圖所示，aa′、bb′、cc′、dd′為四條平行金屬軌道，都處在水平面內(nèi)．a(chǎn)a′、dd′間距2L，bb′、cc′間距L．磁感應(yīng)強(qiáng)度B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面向里，邊界與軌道垂直．a(chǎn)b、cd兩段軌道在磁場(chǎng)區(qū)域正中間，到磁場(chǎng)左右邊界距離均為s．軌道電阻不計(jì)且光滑，在a′d′之間接一阻值R的定值電阻．現(xiàn)用水平向右的力拉著質(zhì)量為m、長(zhǎng)為2L的規(guī)則均勻金屬桿從磁場(chǎng)左側(cè)某處由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，金屬桿的電阻與其長(zhǎng)度成正比，金屬桿與軌道接觸良好，運(yùn)動(dòng)過程中不轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略與ab、cd重合的短暫時(shí)間內(nèi)速度的變化．
（1）證明：若拉力為恒力，無論金屬桿的內(nèi)阻r為多少，都不能使金屬桿保持勻速通過整個(gè)磁場(chǎng)．
（2）若金屬桿內(nèi)阻r=2R，保持拉力為F不變，使金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)后立刻作勻速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)金屬桿到達(dá)磁場(chǎng)右邊界時(shí)，速度大小為v．試求此次通過磁場(chǎng)過程中，整個(gè)回路放出的總熱量．
（3）若金屬桿內(nèi)阻r=2R，通過改變拉力的大小，使金屬桿從磁場(chǎng)左側(cè)某處從靜止開始出發(fā)，保持勻加速運(yùn)動(dòng)到達(dá)磁場(chǎng)右邊界．已知金屬桿即將到達(dá)ab、cd位置時(shí)拉力的大小F₁，已在圖中標(biāo)出．試定性畫出拉力大小隨時(shí)間的變化關(guān)系圖．（不需要標(biāo)關(guān)鍵點(diǎn)的具體坐標(biāo)，但圖象應(yīng)體現(xiàn)各段過程的差異．）

Answer 1

分析：（1）由于導(dǎo)軌的寬度發(fā)生變化，因此導(dǎo)體棒所受安培力將發(fā)生變化，故F不可能為恒力，若為恒力，導(dǎo)軌不可能勻速運(yùn)動(dòng)．
（2）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)安培力等于力F求出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度，然后根據(jù)功能關(guān)系即可求出整個(gè)過程中回路產(chǎn)生的熱量．
（3）正確受力分析，根據(jù)牛頓第二定律寫出F的表達(dá)式，即可正確畫出F-t圖象．

解答：解：（1）當(dāng)金屬桿在ab、cd左側(cè)時(shí)，安培力：FA1=

B2(2L)2v

R+r

當(dāng)金屬桿在ab、cd右側(cè)時(shí)，安培力：FA2=

B2L2v

R+ r 2

若拉力為恒力且始終勻速經(jīng)過，則有F_A1=F_A2
得r=-3R，無解．
（或  得到F_A1≠F_A2，則拉力不可能為恒力）
故若拉力為恒力，無論金屬桿的內(nèi)阻r為多少，都不能使金屬桿保持勻速通過整個(gè)磁場(chǎng)．
（2）當(dāng)金屬桿在ab、cd左側(cè)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F=FA=

B2(2L)2v

R+2R

=

4B2L2v1

3R

解得：v1=

3FR

4B2L2

對(duì)金屬桿通過磁場(chǎng)的過程列動(dòng)能定理式有：
F?2S-Q=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 1

解得：Q=2FS-

1

2

mv2+

9mF2R2

32B4L4

．
故整個(gè)回路放出的總熱量為：Q=2FS-

1

2

mv2+

9mF2R2

32B4L4

．
（3）在磁場(chǎng)外拉力恒定，保持勻加速：
在ab、cd左側(cè)時(shí)，滿足：F-F_A=ma，故有：F=ma+

4B2L2a

3R

t
在ab、cd右側(cè)時(shí)，滿足F-F_A=ma，故有：F=ma+

B2L2a

2R

t
比較兩個(gè)表達(dá)式可知，進(jìn)入ab、cd右側(cè)后，直線斜率將減小
又因?yàn)樵赼b、cd左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于在ab、cd右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，所以出磁場(chǎng)瞬間F₂肯定比F₁小．
故拉力大小隨時(shí)間的變化關(guān)系圖如下圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于正確分析安培力的變化，根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)列出方程，同時(shí)注意克服安培力所做功等于整個(gè)回路中產(chǎn)生的熱量．