Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)。水平桌面右側(cè)某一位置有一豎直放置的、左上角有一開口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離是h=0.8m。如用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點(diǎn)。現(xiàn)換用同種材料制成的質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點(diǎn)沿切線滑入光滑圓軌道MNP(g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6).

（1）求物體m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力；

（2）求彈簧的彈性勢(shì)能E_P；

（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調(diào)節(jié)，使從C點(diǎn)釋放又從D點(diǎn)滑出的質(zhì)量為m=km₁物塊都能由P點(diǎn)沿切線滑入圓弧軌道，并且還能通過最高點(diǎn)M，求k的取值范圍。

Answer 1

解：

（1）設(shè)物塊塊由D點(diǎn)以初速做平拋，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為

                                                ………（1分）

，得                                 ………(1分)

若物塊到達(dá)M點(diǎn)速度為, 

     解得：             …………(2分)

（或：M與D等高，由機(jī)械能守恒得：         …………（2分）

     軌道對(duì)物塊的壓力為F_N，則解得     ………(2分)

  （2）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，

       釋放m₁時(shí)，                                 …………(1分)

釋放m₂時(shí)，,                           …………(1分)

                                                 ……(2分)

 (3)設(shè)質(zhì)量為km₁的物塊，到M點(diǎn)的最小速度為v，

，（運(yùn)算中直接用到照樣得分），    ………(1分)

，                                    …………(1分)

                                                     …………(1分)

                                           …………(1分)

解得：                                   …………(1分)