Question

5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；在y＜0的空間中，存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直xy平面（紙面）向外．一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子（重力不計(jì)），從y軸的P₁點(diǎn)以速度v₀垂直y軸射入第一象限內(nèi)，經(jīng)過(guò)電場(chǎng)后從x軸上x(chóng)=2h的P₂點(diǎn)以與x軸正方向成α角射入x軸下方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．帶電粒子通過(guò)y軸下方的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)之后，從x軸負(fù)方向x=-h的P₃點(diǎn)射入第Ⅱ象限．如果當(dāng)粒子進(jìn)入第Ⅱ象限的同時(shí)，在第Ⅱ象限內(nèi)加一方向與粒子速度方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，使得帶電粒子在到達(dá)y軸之前速度減為0，然后又返回磁場(chǎng)中．
（1）求P₁點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離以及電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）求帶電粒子第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)以及之前在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成和分解法，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解P₁到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離及電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（3）粒子進(jìn)入第二象限時(shí)，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做有往復(fù)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出帶電粒子第四次經(jīng)過(guò)x軸以前的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出坐標(biāo)．根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求解粒子磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在第Ⅰ象限的電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有
沿x方向：v_x=v₀，2h=v₀t    
沿y方向：v_y=v₀tanα，v_y=at
由牛頓第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$                 
由以上各式解得電場(chǎng)強(qiáng)度大小 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}tanα}{2qh}$
P₁點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=htanα
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosα}$
由幾何關(guān)系得 R=$\frac{3h}{2sinα}$ 
聯(lián)立解得 B=$\frac{2m{v}_{0}tanα}{3hq}$        
（3）帶電粒子在第四次到達(dá)x軸之前的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
設(shè)P₄點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-（△x+h），由圖可知△x=2Rsinα=3h 
經(jīng)分析可得P₄的坐標(biāo)為（-4h，0）；
由于帶電粒子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程正好拼成一個(gè)完整的圓，所以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為
  t=T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πh}{{v}_{0}tanα}$
答：
（1）P₁點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為htanα，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}tanα}{2qh}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2m{v}_{0}tanα}{3hq}$；
（3）帶電粒子第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)為（-4h，0），之前在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{3πh}{{v}_{0}tanα}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求出坐標(biāo)與軌跡半徑的關(guān)系，還要抓住周期性進(jìn)行分析．