Question

3．如圖（a）所示，間距為50cm、電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ=30°的斜面上．在區(qū)域I內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應強度為0.5T；在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度B_t的大小隨時間t變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區(qū)域I內(nèi)的導軌上由靜止釋放．在ab棒運動到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好．
已知cd棒的質(zhì)量為0.1kg、ab棒的質(zhì)量及兩棒的阻值均未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長度為1m，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰進入?yún)^(qū)域Ⅱ，求：

（1）通過cd棒電流的方向和區(qū)域I內(nèi)磁場的方向；
（2）當ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運動時cd棒中的電流；
（3）ab棒開始下滑的位置離EF的距離及ab棒的質(zhì)量；
（4）求：ab棒開始下滑至EF的過程中，ab棒的動能、重力勢能的變化量以及回路中產(chǎn)生的內(nèi)能Q．
對于問題（4），有同學是這么認為的：ab棒在下滑過程中，由于安培力對ab棒做負功，故棒的機械能減少，減少的機械能ω等于回路中產(chǎn)生的內(nèi)能Q，該同學的分析是否正確？如果正確，按照他的思路，解出內(nèi)能Q；如果不正確，請說明有什么問題并按照你的理解，解出內(nèi)能Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)右手定則判斷出ab棒中的電流方向，從而得出通過cd棒中的電流方向，根據(jù)cd棒處于靜止，通過安培力的方向，根據(jù)左手定則判斷出區(qū)域I內(nèi)磁場的方向．
（2）對cd棒，根據(jù)平衡求出感應電流的大�。�
（3）棒ab進入II區(qū)域前后回路中的電動勢不變，即磁場變化產(chǎn)生電動勢與導體切割磁感線產(chǎn)生電動勢相等，據(jù)此求出導體棒進入II時速度大小，然后根據(jù)導體棒勻加速下滑的特點即可求出結果．
（4）回路中電流恒定，根據(jù)Q=EIt可求出結果．

解答 解：（1）根據(jù)右手定則，可知通過ab棒的電流方向由a→b；那么通過cd棒的電流方向：d→c；
根據(jù)平衡條件，可知，棒ab的安培力方向沿導軌向上，
根據(jù)左手定則，則有：區(qū)域I內(nèi)磁場方向為垂直于斜面向上；
（2）對cd棒，F(xiàn)_安=BIl=mgsinθ所以通過cd棒的電流大小I=$\frac{mgsin30°}{BL}$=$\frac{0.1×10×0.5}{0.5×0.5}$=2A．
（3）ab棒在到達區(qū)域II前做勻加速直線運動，a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=gsinθ=5m/s²；
cd棒始終靜止不動，ab棒在到達區(qū)域II前、后，回路中產(chǎn)生的感應電動勢不變，則ab棒在區(qū)域II中一定做勻速直線運動
可得；$\frac{△φ}{△t}$=BLv_t，即$\frac{B•l•L}{{t}_{x}}$=BLgsinθt_x，所以t_x=$\sqrt{\frac{l}{gsinθ}}$=$\sqrt{\frac{1}{10×0.5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
ab棒在區(qū)域II中做勻速直線運動的速度v_t=$\sqrt{glsin30°}$=$\sqrt{5}$m/s；
則ab棒開始下滑的位置離EF的距離h=$\frac{1}{2}$at _x²+l=1.5m；
根據(jù)ab棒在區(qū)域II中一定做勻速直線運動，因此受到重力，安培力，與支持力，
根據(jù)平衡條件，則有：G=F_安；
因Bt磁感應強度為0.5T，則兩棒受到的安培力大小相等，
又由于cd棒處于靜止，則兩棒的質(zhì)量相等，即為0.1kg；
（4）根據(jù)能量守恒定律，可知，想法是不正確的；
ab棒在區(qū)域II中運動的時間t₂=$\frac{l}{{v}_{t}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$s
ab棒從開始下滑至EF的總時間t=t _x+t₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$s
ε=Blv_t=$0.5×0.5×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$V；
ab棒從開始下滑至EF的過程中閉合回路中產(chǎn)生的熱量：Q=εIt=$\frac{\sqrt{5}}{4}×2×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1J；
而ab棒的動能為E_K=$\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×（\sqrt{5}）^{2}$=0.25J；
那么其重力勢能的變化量為△E_P=mg△h=0.1×10×1.5×0.5=0.75J；
則減小的機械能為△E=0.75-0.25J=0.5J；
因此減少的機械能E不等于回路中產(chǎn)生的內(nèi)能Q，
原因是ab棒沒有進入磁場II時，電路中已有電流，從而產(chǎn)生內(nèi)能．
答：（1）通過cd棒的電流方向 d→c，區(qū)域I內(nèi)磁場方向為垂直于斜面向上．
（2）當ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運動時cd棒的電流大小2A．
（3）ab棒開始下滑的位置離EF的距離為1.5m，質(zhì)量為0.1kg．
（4）ab棒開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量為1J．

點評 解決這類問題的關鍵是弄清電路結構，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況，并掌握焦耳定律的內(nèi)容．