Question

如圖所示裝置，圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑為R₁₌=

3

×10^-2m，其中分布垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，與磁場(chǎng)區(qū)域同心的圓筒半徑為R₂=2

3

×10^-2m，其左側(cè)與兩平行金屬板MN相鄰，相鄰處有一小孔，將平行板內(nèi)部和圓筒內(nèi)部連通．平行金屬板MN內(nèi)部緊靠M板處有一帶電粒子處于靜止?fàn)顟B(tài)，且粒子位于小孔和磁場(chǎng)圓心的連線上，其電量為q=+3.2×10^-19C，質(zhì)量為m=6.4×10^-27Kg．當(dāng)兩金屬板間電壓為U₁=225V時(shí)，帶電粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速后通過(guò)磁場(chǎng)，速度方向偏轉(zhuǎn)了

π

3

．不計(jì)重力和一切阻力，求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B：
（2）如果將兩金屬板間電壓變?yōu)閁₂=25V，粒子再次由靜止加速后通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，求兩種情況下粒子在圓筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理求得速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式及幾何關(guān)系即可求解B；
（2）根據(jù)周期公式及運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角分別求出兩次電壓下粒子在圓筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在圓筒與磁場(chǎng)間區(qū)域勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求解時(shí)間差．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，設(shè)獲得速度為v1，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU₁=

1

2

mv12
解得：v₁=1.5×10⁵m/s
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r₁，則
Bqv₁=

mv12

r1

由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角
θ₁=60°
r₁=R₁cot

θ1

2

帶入數(shù)據(jù)解得：B=0.1T
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為：
T=

2πm

Bq

T=4π×10^-7s
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=

θ1

2π

T
設(shè)粒子在圓筒與磁場(chǎng)間區(qū)域勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁′，則
t₁′=

2(R2-R1)

v1

當(dāng)電場(chǎng)電壓為U₂=25V時(shí)，設(shè)粒子加速后獲得的速度為v₂，由動(dòng)能定理得：
qU₂=

1

2

mv22
解得：v₂=0.5×10⁵m/s
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r₂，則
Bqv₂=

mv22

r2

解得：r₂=1×10^-2m
由圖中幾何關(guān)系可知：
r₂=R₂cot

θ2

2

θ₂=120°
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=

θ2

2π

T
設(shè)粒子在圓通與磁場(chǎng)間區(qū)域勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂′，則
t₂′=

2(R2-R1)

v2

兩種運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差
△t=t₂+t₂′-（t₁+t₁′）
帶入數(shù)據(jù)解得△t=6.7×10^-7s
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為0.1T：
（2）兩種情況下粒子在圓筒中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差為6.7×10^-7s．

點(diǎn)評(píng)：本題中粒子先在電場(chǎng)中做加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．由動(dòng)能定理可求得末速度；而在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，確定圓心和半徑為解題的關(guān)鍵．