Question

天文學(xué)家經(jīng)過(guò)用天文望遠(yuǎn)鏡的長(zhǎng)期觀測(cè)，在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多“雙星”系統(tǒng)，所謂“雙星”系統(tǒng)是指由兩個(gè)星體組成的天體系統(tǒng)．其中每個(gè)星體的線度均遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離．根據(jù)對(duì)“雙星”系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，這兩個(gè)星體中的每一星體均在繞二者連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星體到該點(diǎn)的距離與星體的質(zhì)量成反比，一般雙星系統(tǒng)與其他星體距離很遠(yuǎn)，除去雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星體之間的相互作用的萬(wàn)有引力外，雙星系統(tǒng)所受其他天體的引力均可忽略不計(jì)．根據(jù)對(duì)一“雙星”系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，此雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，兩者之間的距離為L(zhǎng)．
（1）根據(jù)天體力學(xué)理論計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₀；
（2）若觀測(cè)到的該雙星系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)周期為T，且有T₀：T=

N

：1（N＞1），為了解釋T與T₀之間的差異，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在著一種用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的“暗物質(zhì)”．作為一種簡(jiǎn)化的模型，我們假定認(rèn)為在以這兩個(gè)星體的連線為直徑的球體內(nèi)部均勻分布著這種暗物質(zhì)，若不再考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型理論和上述的觀測(cè)結(jié)果，確定該雙星系統(tǒng)中的這種暗物的密度．

Answer 1

（1）雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力得：G

m2

L2

=m

4π2

T 20

?

L

2

解得：T0=πL

2L Gm

．
（2）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期T=

1

N

T0＜T0這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m'，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同．
則有：G

m2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

=m

4π2

T2

?

L

2

解得：T=πL

2L G(m+4m′)

所以：m′=

N-1

4

m
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則有：

4

3

π(

L

2

)3ρ=

N-1

4

m
解得：ρ=

3(N-1)m

2πL3

答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₀為πL

2L Gm

；
（2）該雙星系統(tǒng)中的這種暗物的密度為

3(N-1)m

2πL3

．