Question

11．如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)繩上端固定在天花板上的O點(diǎn)，下端栓一質(zhì)量為m的小球，重力加速度為g．當(dāng)把細(xì)繩拉直時(shí)，細(xì)繩與豎直線夾角θ=60°，此時(shí)小球靜止在光滑的水平桌面上．求：
（1）當(dāng)小球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的向心加速度為多大？
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的角速度為多大？
（3）當(dāng)小球以角速度ω₂=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩的彈力為多大？

Answer 1

分析 小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時(shí)小球的角速度．當(dāng)球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，求得向心加速度；當(dāng)根據(jù)角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運(yùn)動(dòng)，再由牛頓第二定律求解細(xì)繩的張力T．

解答 解：設(shè)小球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的角速度為ω₀時(shí)，小球?qū)�光滑水平面的壓力恰好為零，此時(shí)球受重力mg和繩的拉力T₀，應(yīng)用正交分解法則列出方程：
  T₀sinθ=m${ω}_{0}^{2}$Lsinθ    ①
  T₀cosθ-mg=0    ②
由以上二式解得：ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$  ③
（1）ω₁＜ω₀時(shí)，所以小球受重力mg，繩的拉力T和水平面的支持力N，應(yīng)用正交分解法列方程：
  Tsinθ=ma    ④
   Tcosθ+N-mg=0     ⑤
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}g$
（3）ω₂＞ω₀時(shí)，小球離開水平面做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，設(shè)細(xì)繩與豎直線的夾角為α，由于球已離開水平面，所以球?qū)λ�平面的壓力N′=0．小球受重力mg和細(xì)繩的拉力T′，應(yīng)用正交分解法列方程：
 T′sinα=m${ω}_{2}^{2}$Lsinα ⑥
 T′cosα-mg=0   ⑦
解得：cosα=$\frac{1}{4}$，T′=$\frac{mg}{cosα}$=4mg，
答：（1）當(dāng)小球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的向心加速度為$\frac{\sqrt{3}g}{2}$
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的角速度為$\sqrt{\frac{2g}{L}}$
（3）當(dāng)球以角速度ω₁=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩的張力T為4mg．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關(guān)鍵，實(shí)質(zhì)是牛頓第二定律的特殊應(yīng)用