Question

13．同步加速器在粒子物理研究中有重要的應(yīng)用，其基本原理簡(jiǎn)化為如圖所示的模型．M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板．質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子A（不計(jì)重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零．每當(dāng)A進(jìn)入板間，兩板的電勢(shì)差變?yōu)閁，粒子得到加速，當(dāng)A離開N板時(shí)，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱悖畠砂逋獠看嬖诖怪奔埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，A在磁場(chǎng)作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，R遠(yuǎn)大于板間距離．A經(jīng)電場(chǎng)多次加速，動(dòng)能不斷增大，為使R保持不變，磁場(chǎng)必須相應(yīng)地變化．不計(jì)粒子加速時(shí)間及其做圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁輻射，不考慮磁場(chǎng)變化對(duì)粒子速度的影響及相對(duì)論效應(yīng)．求：
（1）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��；
（2）在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率${\overline P_n}$．

Answer 1

分析 （1）對(duì)直線加速過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式；對(duì)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程根據(jù)牛頓第二定律列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）A運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功為qU；先根據(jù)動(dòng)能定理求解該過(guò)程的速度，然后根據(jù)線速度的定義公式求解時(shí)間；最后根據(jù)平均功率的定義求解平均功率．

解答 解：（1）設(shè)A經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后速度為v₁，由動(dòng)能定理得$qU=\frac{1}{2}mv_1^2-0$①
A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受洛倫茲力充當(dāng)向心力$q{v_1}{B_1}=\frac{mv_1^2}{R}$②
由①②得${B_1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$③
（2）設(shè)A經(jīng)n次加速后的速度為v_n，由動(dòng)能定理得$nqU=\frac{1}{2}mv_n^2-0$④
設(shè)A做第n次圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T_n，有${T_n}=\frac{2πR}{v_n}$⑤
設(shè)在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功為W_n，則W_n=qU⑥
在該段時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率為$\overline{P_n}=\frac{W_n}{T_n}$⑦
由④⑤⑥⑦解得$\overline{P_n}=\frac{qU}{πR}\sqrt{\frac{nqU}{2m}}$⑧
答：（1）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率$\frac{qU}{πR}\sqrt{\frac{nqU}{2m}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確同步加速器的工作原理，然后結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律、電功率定義和幾何關(guān)系列式分析．