Question

11．對某行星的一顆衛(wèi)星（質(zhì)量m）進行觀測，已知運行的軌道半徑為r的圓周，周期為T，測得行星的半徑為衛(wèi)星半徑的$\frac{1}{10}$，求：
（1）該行星的質(zhì)量M；
（2）該行星的密度ρ；
（3）此行星表面重力加速度為多大？（萬有引力常量為G）

Answer 1

分析 （1）由萬有引力充當向心力，則向心力公式可得出行星的質(zhì)量；
（2）根據(jù)密度的定義式求解；
（3）行星表面的物體，萬有引力充當重力，由萬有引力公式可得出行星表面的重力加速度．

解答 解：（1）由萬有引力充當向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）根據(jù)密度的定義式得
該行星的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3000π}{{GT}^{2}}$
（3）行星表面的物體，萬有引力等于重力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
g=$\frac{GM}{{（\frac{r}{10}）}^{2}}$=$\frac{400πr}{{T}^{2}}$
答：（1）該行星的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）該行星的密度是$\frac{3000π}{{GT}^{2}}$；
（3）此行星表面重力加速度為是$\frac{400πr}{{T}^{2}}$．

點評 本題為萬有引力定律的直接應(yīng)用，注意萬有引力只能求出中心天體的質(zhì)量；當題目中物理是較多時，在解題時要注意區(qū)分已知量和未知量．