(2010?上海模擬)兩根長直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點(diǎn),B點(diǎn)為軌道最低點(diǎn),O為圓心,軌道各處光滑且固定在豎直平面內(nèi).質(zhì)量均為m的兩小環(huán)P、Q用長為
2
R的輕桿連接在一起,套在軌道上.將MN兩環(huán)從距離地面2R處由靜止釋放,整個過程中輕桿和軌道始終不接觸,重力加速度為g,求:
(1)當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時,系統(tǒng)減少的重力勢能△EP;
(2)當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時的速度v;
(3)在運(yùn)動過程中,P環(huán)能達(dá)到的最大速度vm
(4)若將桿換成長2
2
R
,P環(huán)仍從原處由靜止釋放,經(jīng)過半圓型底部再次上升后,P環(huán)能達(dá)到的最大高度H.
分析:(1)輕桿下滑過程,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,確定出兩環(huán)下降的高度,即可由求得△EP;
(2)P、Q都進(jìn)入圓軌道后,兩環(huán)具有相同角速度,兩環(huán)速度大小一定相等,根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式求解最大速度.
(3)當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處時,系統(tǒng)達(dá)到的速度最大,此時MN離O點(diǎn)豎直高度為
2
2
R
,再由機(jī)械能守恒求解.
(4)由于桿長超過了半圓直徑,故A環(huán)一直在下方,速度為零時,結(jié)合幾何關(guān)系并根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可求解出高度.
解答:解:(1)當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時,系統(tǒng)減少的重力勢能 △Ep=WGM+WGN=mg2R+mg(1+
2
)R=(3+
2
)mgR

(2)P、Q都進(jìn)入圓軌道后,兩環(huán)具有相同角速度,則兩環(huán)速度大小一定相等
整體的機(jī)械能守恒,則有:△EP=△EK
則得  (3+
2
)mgR=
1
2
2mv2

得到 v=
(3+
2
)gR

(3)當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處時,系統(tǒng)達(dá)到的速度最大,此時MN離O點(diǎn)豎直高度為
2
2
R

則有(1+
2
2
)mgR+(
2
+1+
2
2
)mgR=
1
2
?2m
v
2
m
 
得到 v=
(2+2
2
)gR

(4)由于桿超過了半圓直徑,所以兩環(huán)運(yùn)動如圖.

M再次上升后,設(shè)位置比原來高h(yuǎn),如圖所示.
由機(jī)械能守恒:-mgh+mg(2
2
R-2R-h)=0 
解得h=(
2
-1)R

P環(huán)能達(dá)到的最大高度H=(
2
+1)R

答:
(1)當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時,系統(tǒng)減少的重力勢能△EP是(3+
2
)mgR.
(2)當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時的速度v是
(3+
2
)gR

(3)在運(yùn)動過程中,P環(huán)能達(dá)到的最大速度vm
(2+2
2
)gR

(4)若將桿換成長2
2
R
,P環(huán)仍從原處由靜止釋放,經(jīng)過半圓型底部再次上升后,P環(huán)能達(dá)到的最大高度H是(
2
+1)R.
點(diǎn)評:本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系多次得到環(huán)的具體位置,然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可.
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a
a
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100
100
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