Question

如圖所示，在xoy坐標系中分布著三個有界場區(qū)：第一象限中有一半徑為r=0.1m的圓形磁場區(qū)域，磁感應強度B₁=1T，方向垂直紙面向里，該區(qū)域同時與x軸、y軸相切，切點分別為A、C；第四象限中，由y軸、拋物線FG（y=-10x²+x-0.025，單位：m）和直線DH（ y=x-0.425，單位：m）構成的區(qū)域中，存在著方向豎直向下、強度E=2.5N/C的勻強電場；以及直線DH右下方存在垂直紙面向里的勻強磁場B₂=0.5T．現有大量質量為1×10^-6kg（重力不計），電量大小為2×10^-4C，速率均為20m/s的帶負電的粒子從A處垂直磁場進入第一象限，速度方向與y軸夾角在0至180度之間．
（1）求這些粒子在圓形磁場區(qū)域中運動的半徑；
（2）試證明這些粒子經過x軸時速度方向均與x軸垂直；
（3）通過計算說明這些粒子會經過y軸上的同一點，并求出該點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據帶電粒子在勻強磁場中運動的半徑公式求出粒子運動的半徑．
（2）粒子在勻強磁場中做圓周運動的半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相等，通過速度方向與圓周運動的軌道半徑垂直，結合幾何關系進行證明．
（3）粒子離開圓形磁場沿電場線方向進入電場，速度方向與電場方向一致，根據動能定理得出進入磁場的速度，通過拋物線和直線的軌跡方程，結合圓周運動的知識求出粒子打到y(tǒng)軸上的坐標．

解答：解：（1）根據B₁qv=

mv2

R1

得
R₁=

mv1

qB1

=

1×10-6×20

2×10-4×1

m=0.1m
（2）考察從A點以任意方向進入磁場的粒子，設其從K點離開磁場，O₁和O₂分別是磁場區(qū)域和圓周運動的圓心，因為圓周運動半徑和磁場區(qū)域半徑相同，因此O₁AO₂K為菱形，離開磁場時速度垂直于O₂K，即垂直于x軸，
得證．                                                                                            
（3）設粒子在第四象限進入電場時的坐標為（x，y₁），離開電場時的坐標為（x，y₂），離開電場時速度為v₂，在B₂磁場區(qū)域做圓周運動的半徑為R₂．
有Eq（y₂-y₁）=

1

2

mv

2 2

-

1

2

mv²                                 
  B₂qv₂=

mv 2 2

R2

                                     
 并將y₁=-10x²+x-0.025和y₂=x-0.425代入得R₂=X   因v₂的方向與DH成45°，且半徑剛好為x坐標值，則粒子做圓周運動的圓心必在y軸上，在此磁場中恰好經過四分之一圓周，并且剛好到達H處，H點坐標為（0，-0.425）．
答：（1）這些粒子在圓形磁場區(qū)域中運動的半徑為0.1m．
（2）證明如上．
（3）該點坐標為（0，-0.425）．

點評：本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵理清粒子的運動的過程，結合動能定理，牛頓第二定律等知識進行求解，本題對數學能力的要求較高．