Question

如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個直線加速器均由k個長度逐個增長的金屬圓筒組成（整個裝置處于真空中，圖中只畫出了6個圓筒，作為示意），它們沿中心軸線排列成一串，各個圓筒相間地連接到正弦交流電源的兩端．設金屬圓筒內部沒有電場，且每個圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過縫隙的時間可忽略不計．為達到最佳加速效果，需要調節(jié)至粒子穿過每個圓筒的時間恰為交流電的半個周期，粒子每次通過圓筒間縫隙時，都恰為交流電壓的峰值．質量為m、電荷量為e的正、負電子分別經過直線加速器加速后，從左、右兩側被導入裝置送入位于水平面內的圓環(huán)形真空管道，且被導入的速度方向與圓環(huán)形管道中粗虛線相切．在管道內控制電子轉彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃…A_n，共n個，均勻分布在整個圓周上（圖中只示意性地用細實線畫了幾個，其余的用細虛線表示），每個電磁鐵內的磁場都是磁感應強度均相同的勻強磁場，磁場區(qū)域都是直徑為d的圓形．改變電磁鐵內電流的大小，就可改變磁場的磁感應強度，從而改變電子偏轉的角度．經過精確的調整，可使電子在環(huán)形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運動，這時電子經過每個電磁鐵時射入點和射出點都在圓形運強磁場區(qū)域的同一條直徑的兩端，如圖（乙）所示．這就為實現(xiàn)正、負電子的對撞作好了準備．
（1）若正、負電子經過直線加速器后的動能均為E₀，它們對撞后發(fā)生湮滅，電子消失，且僅產生一對頻率相同的光子，則此光子的頻率為多大？（已知普朗克恒量為h，真空中的光速為c．）
（2）若電子剛進入直線加速器第一個圓筒時速度大小為v₀，為使電子通過直線加速器后速度為v，加速器所接正弦交流電壓的最大值應當多大？
（3）電磁鐵內勻強磁場的磁感應強度B為多大？

Answer 1

分析：（1）電子泯滅后產生的光子能量為：E=E0+mc2，再由光子能量表達式E=hv可以解出結果．
（2）這里有個易錯點是經過k個圓筒其縫隙個數(shù)不是k個而是（k-1）個．這點錯不了這一問就沒問題．
（3）這個需要畫粒子在磁場中圓周運動的圖象，由此來找半徑和圓心角的關系，結合圓周運動中適當?shù)年P于半徑的表達式，可以解得結果．可以說圖象在粒子在磁場中的圓周運動問題當中至關重要，本題中由于導體管道里面有n個圓形磁鐵，所以每個對應的圓心角就是

2π

n

．然后結合具體圖象，可以得到圓心角和半徑的關系式．至此問題就基本解決．

解答：解：（1）一對正、負電子對撞后湮滅產生一對光子，所以一個光子的能量與一個電子的能量相等，即每個光子的能量為E=E₀+mc²
設光子的頻率為γ，則上式可寫作：hγ=E0+mc2
解得：γ=（E₀+mc²）

1

h

．
（2）電子在直線加速器中，經過k個圓筒間的（k-1）個縫隙間的電場后，時共經歷（k-1）次加速，每當電子運動至筒間縫隙時交流電壓的瞬時值應為最大值U_m
根據(jù)動能定理
(k-1)eUm=

1

2

mv2-

1

2

mv02

解得U_m=

m(v2-v02)

2e(k-1)

（3）設電子經過1個電磁鐵的圓形磁場區(qū)時偏轉角度為θ，則 θ=

2π

n

由圖可知，電子射入勻強磁場區(qū)時與通過射入點的直徑夾角為

1

2

θ
電子在勻強磁場區(qū)域內作圓運動，洛侖茲力提供向心力
evB=

mv2

R

解得：R=

mv

Be

根據(jù)幾何關系   sin

θ

2

=

d

2R

解得  B=

2mvsin π n

de

答：（1）光子的頻率為v═(E0+mc2)/h
（2）正弦交流電壓的最大值Um=

m(v2- v 2 0 )

2e(k-1)

（3）電磁鐵內勻強磁場的磁感應強度B=

2mvsin π n

de

點評：本題題目描述很繁雜，看上去難度很大，但是越是這樣的往往越簡單，因為它描述的多已知量相應就多，過程相應就比較詳盡，這有助于我們解題，所以遇見這樣看似很難的題目不要慌張，仔細讀完，梳理出題目的各個過程，各個量的關系，然后建立起物理模型，然后選擇相應的物理規(guī)律，定律，定理，一般都能解決．