Question

（2013?普陀區(qū)二模）根據(jù)電磁學(xué)有關(guān)知識(shí)，在某一空間放一電荷量為Q的點(diǎn)電荷，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則距離點(diǎn)電荷為r的某點(diǎn)的電勢(shì)公式為φ=k

Q

r

，其中k為靜電力常量．

（1）如圖甲所示，在圓心處有一電荷量為+Q的點(diǎn)電荷，其等勢(shì)面上a、b、c三點(diǎn)所在的圓半徑分別為r_a、r_b和r_c．試用題中公式證明：r越大，點(diǎn)電荷的等勢(shì)面越稀，即r_c-r_b＞r_b-r_a．
（2）如圖乙中虛線所示是電荷量分別為+Q和-Q的等勢(shì)面，試用題中公式證明：中垂線上任意一點(diǎn)P的電勢(shì)為零．
（3）若將兩個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成如圖丙所示的電偶極子模型（指電荷量為q、相距為l的一對(duì)正負(fù)點(diǎn)電荷組成的電結(jié)構(gòu)），點(diǎn)電荷q₀沿以電偶極子為中心、半徑為R的半圓弧從A移動(dòng)到B，試求q₀受到的電場(chǎng)力所做的功為多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)電荷電勢(shì)公式φ=k

Q

r

以及φ_b-φ_a=φ_c-φ_b列式后分析求解；
（2）分別假設(shè)正負(fù)電荷單獨(dú)存在，求出P點(diǎn)的電勢(shì)，然后相加即可；
（3）先求解出A與B兩點(diǎn)的電勢(shì)，然后根據(jù)W_AB=qU_AB列式求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意，a、b、c三點(diǎn)的電勢(shì)分別為：φ_a=

kQ

ra

，φ_b=

kQ

rb

，φ_c=

kQ

rc

因?yàn)?φ_b-φ_a=φ_c-φ_b
所以

kQ

rb

-

kQ

ra

=

kQ

rc

-

kQ

rb

即

rb-ra

rbra

=

rc-rb

rcrb

，

rb-ra

rc-ra

=

ra

rc

由于r_c＞r_a，所以有r_c-r_b＞r_b-r_a
即離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)的地方，等差等勢(shì)面應(yīng)畫(huà)的越�。�
（2）設(shè)兩個(gè)電荷到P點(diǎn)的距離均為r，則
φ_p=

kQ

r

+

k(-Q)

r

=0
（3）電偶極子在A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)為：
φ_A=

kq

R- l 2

+

k(-q)

R+ l 2

，φ_B=

kq

R+ l 2

+

k(-q)

R- l 2

A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差為：U_AB=φ_A-φ_B=

2kql

R2- l2 4

電場(chǎng)力做功為：W=qUAB=

2kq0ql

R2- l2 4

答：（1）證明如上；
（2）證明如上；
（3）q₀受到的電場(chǎng)力所做的功為

2kq0ql

R2- l2 4

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵根據(jù)題意，得到單個(gè)點(diǎn)電荷和一對(duì)點(diǎn)電荷的空間任意一點(diǎn)的電勢(shì)表達(dá)式，然后根據(jù)據(jù)W_AB=qU_AB列式求解．