Question

如圖所示，斜槽軌道一端與一個半徑為0.4m的圓形軌道相連．一個質量m=0.1kg的物體，從高為H=2m的A點，由靜止滑下，已知軌道光滑，求：
（1）小球通過B點時的速度及對軌道的壓力；
（2）小球通過C點時速度為多大，對軌道的壓力為多大；
（3）若使小球做圓周運動恰能通過C點，則H應滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）小球從光滑的軌道上滑下過程，機械能守恒，即可由機械能守恒定律求出小球通過B點時的速度；小球經(jīng)過B點時，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律及第三定律結合求解小球對軌道的壓力．
（2）運用同樣的方法求解小球通過C點時速度及對軌道的壓力．
（3）要使小球能夠通過圓軌道最高點，那么小球在最高點時應該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度H．

解答：解：（1）小球從A到B的過程中，由機械能守恒定律得：
mgH=

1

2

m

v

2 B

…①
得：v_B=

2gH

=

2×10×2

=2

10

m/s
在B點，由牛頓第二定律得：N_B-mg=m

v 2 B

R

…②
由①②聯(lián)立得：N_B=mg+mg

2H

R

=0.1×10（1+

2×2

0.4

）N=11N
則根據(jù)牛頓第三定律得小球對軌道的壓力為：N_B′=N_B=11N，方向豎直向下．
（2）小球從A到C的過程中，由機械能守恒定律得：
mg（H-2R）=

1

2

m

v

2 C

…③
得：v_C=

2g(H-2R)

=

2×10×(2-2×0.4)

=2

6

m/s
在C點，由牛頓第二定律得：N_C+mg=m

v 2 C

R

由①②聯(lián)立得：N_C=mg

2H

R

-5mg=0.1×10（

2×2

0.4

-5）N=5N
則根據(jù)牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力為N_C′=N_C=5N，方向豎直向上．
（3）小鋼球恰能通過最高點時，軌道對小鋼球的支持力為：N_C=0
最高點時，重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=

v2

R

小球在運動過程中由機械能守恒定律得：mgH′=mg×2R+

1

2

mv²…②
由①②解得：H′=2.5R=2.5×0.4m=1m
答：（1）小球通過B點時的速度是2

10

m/s，對軌道的壓力為11N，方向豎直向下；
（2）小球通過C點時速度為2

6

/s，對軌道的壓力為5N，方向豎直向上；
（3）若使小球做圓周運動恰能通過C點，則H應等于1m．

點評：本題屬于圓周運動中繩子的模型，在最高點時的臨界條件是重力恰好做為圓周運動的向心力，運用機械能守恒和牛頓運動定律結合進行研究．