Question

如圖所示，一個水平放置的圓桶繞軸OO′勻速轉動，轉動角速度ω=2.5π rad/s，桶壁上P處有一圓孔，桶壁很薄，桶的半徑R=2m．當圓孔運動到桶的上方時，在圓孔的正上方h=3.2m處有一個小球由靜止開始下落，已知圓孔的半徑略大于小球的半徑．試通過計算判斷小球是否和圓桶碰撞（不考慮空氣阻力，g取10m/s²）．

Answer 1

分析：小球若能從圓孔中進去還正好從圓孔中出來，就不會跟圓筒相撞，否則就會相撞，設小球下落h所用時間t₁，經過圓桶所用時間為t₂，求出這兩段時間，再求出圓筒的周期，根據(jù)時間與周期的關系即可解題．

解答：解：設小球下落h所用時間t₁，經過圓桶所用時間為t₂，則h=

1

2

gt²
解得t₁=0.8 s 
h+2R=

1

2

g（t₁+t₂）²
解得t₂=0.4 s  
圓桶的運動周期為T=

2π

ω

=

2π

2.5π

 s=0.8 s．
由于t₁=T，小球到達圓桶時，圓桶正好轉一周，圓孔又回到圓桶上方，小球可以進入圓桶內，不會相碰；
又因為t₂=

1

2

T，小球進入圓桶后，圓桶轉半周，圓孔轉到圓桶正下方時，小球也正好到達圓桶的正下方，小球可以從圓桶中出來，不會相碰；
由以上分析可知，小球和圓桶不會相碰．

點評：本題是自由落體運動和圓周運動相結合的題目，比較有新意，要抓住小球運動時間與圓筒的周期之間的關系求解，難度適中．