Question

3．如圖所示，一輕彈簧一端與豎直墻壁相連，另一端放在光滑水平面上的長(zhǎng)木板左端接觸，輕彈簧處于原長(zhǎng)，長(zhǎng)木板的質(zhì)量為M，一物塊以初速度v₀從長(zhǎng)木板的右端像左滑上長(zhǎng)木板，在上木板向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，物塊一直相對(duì)于木板向左滑動(dòng)，物塊的質(zhì)量為m，物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)彈簧的壓縮量達(dá)到最大時(shí)，物塊剛好滑到長(zhǎng)木板的中點(diǎn)，且相對(duì)于木板的速度剛好為零，此時(shí)彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能為E_p．（已知彈簧形變量為x，彈力做功W=$\frac{1}{2}$kx²）求：
（1）物塊滑上長(zhǎng)木板的一瞬間，長(zhǎng)木板的加速度大�。�
（2）長(zhǎng)木板向左運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（3）長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）物塊在長(zhǎng)木板滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板受到的合外力等于滑塊對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力，由牛頓第二定律求出長(zhǎng)木板的加速度．
（2）當(dāng)長(zhǎng)木板向左運(yùn)動(dòng)的最大速度時(shí)，彈簧的彈力等于滑塊對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力，由胡克定律求彈簧的壓縮量．長(zhǎng)木板從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度最大的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求最大速度．
（3）當(dāng)彈簧的壓縮量達(dá)到最大時(shí)，木板的速度為零，木塊的速度也為零，根據(jù)能量守恒定律求長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）物塊滑上長(zhǎng)木板時(shí)，長(zhǎng)木板受到的合外力等于滑塊對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力，由牛頓第二定律得：
  μmg=Ma
解得，長(zhǎng)木板的加速度 a=$\frac{μmg}{M}$
（2）當(dāng)長(zhǎng)木板向左運(yùn)動(dòng)的最大速度時(shí)，彈簧的彈力等于滑塊對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力，即
   kx=μmg
得 x=$\frac{μmg}{k}$
長(zhǎng)木板從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度最大的過(guò)程，設(shè)最大速度為v，由動(dòng)能定理得：
  μmgx-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得  v=$\frac{μmg}{kM}$$\sqrt{kM}$
（3）當(dāng)彈簧的壓縮量達(dá)到最大時(shí)，木板的速度為零，木塊的速度也為零，設(shè)長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，根據(jù)能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=μmg$•\frac{L}{2}$+E_p；
解得  L=$\frac{m{v}_{0}^{2}-{E}_{p}}{μmg}$
答：
（1）物塊滑上長(zhǎng)木板的一瞬間，長(zhǎng)木板的加速度大小為$\frac{μmg}{M}$；
（2）長(zhǎng)木板向左運(yùn)動(dòng)的最大速度為$\frac{μmg}{kM}$$\sqrt{kM}$；
（3）長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度為$\frac{m{v}_{0}^{2}-{E}_{p}}{μmg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住彈簧的壓縮量達(dá)到最大時(shí)，木板和木塊的速度均為零，運(yùn)用牛頓第二定律、能量守恒定律和動(dòng)能定理列式研究．