Question

【題目】如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量m=2×10﹣2 kg，電荷量q=0.2C．將彈簧拉至水平后，以初速度V0=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O1點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O1相距R=1.5m，小球P在O1點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10﹣1 kg的靜止絕緣小球N相碰．碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場．此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5m的圓周運(yùn)動(dòng)．小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2 ． 那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
（2）請(qǐng)通過計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度．
（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)彈簧的彈力做功為W，有： ①

代入數(shù)據(jù)，得：W=﹣2.05J②

答：彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為﹣2.05J

（2）解：由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷．設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v1和V，

并令水平向右為正方向，有：mv=±m(xù)v1+MV③

而： ④

若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V＜v1，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)．P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)．有： ⑤

P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過的時(shí)間為tN，P經(jīng)過的時(shí)間為tP．設(shè)此時(shí)N的速度V1的方向與水平方向的夾角為θ，

有： ⑥

gtN=V1sinθ=v1sinθ⑦

代入數(shù)據(jù)，得： ⑧

對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有： ⑨

經(jīng)計(jì)算得：tN＜T，

P經(jīng)過tP時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為α，有： ⑩

當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：α1=π+θ

聯(lián)立相關(guān)方程得：

比較得，tN≠tP1，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同．

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有：a2=π﹣θ，

同上得： ，

比較得，tN≠tp2，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同．

答：小球P、N碰撞后不能在某一時(shí)刻具有相同的速度

（3）解：當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，tN=tP=t，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同tN=tP=t，

同理得： ，

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有： （給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．

答： （給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．

【解析】（1）對(duì)小球從水平位置到O1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)用動(dòng)能定理即可求得彈簧彈力做功；（2）速度相同，包括大小相等，方向相同．由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場力和重力平衡，在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，可根據(jù)碰撞時(shí)的動(dòng)量守恒，求出N的速度，假設(shè)他們的速度相同，分別計(jì)算時(shí)間，看看時(shí)間能否相等，同時(shí)要注意分情況討論，因?yàn)榇艌龅姆较驔]有說明；（3）因?yàn)榇艌龇较驔]有說明，所以同樣要分情況討論，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間他們速度相同，應(yīng)用（2）中的方程，聯(lián)立方程解出r，同時(shí)要注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．