Question

1．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD的內(nèi)側(cè)光滑，內(nèi)圓A′B′C′D′的上半部分外側(cè)B′C′D′粗糙，下半部分外側(cè)B′A′D′光滑．一質(zhì)量m=0.1kg的小球從軌道的最低點A，以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于兩圓間距，球運動的半徑R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為多少？
（2）若v₀=3m/s，經(jīng)過一段時間小球到達最高點，此時內(nèi)軌道對小球的支持力F_N=1N，則小球在這段時間內(nèi)克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=$2\sqrt{2}$m/s，經(jīng)過足夠長的時間后，小球經(jīng)過最低點A時受到的支持力為多少？小球在整個運動過程中減少的機械能是多少？

Answer 1

分析 （1）緊貼外圓做圓周運動，在最高點的臨界情況是重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合機械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的速度大小，根據(jù)動能定理求出克服摩擦力做功的大�。�
（3）經(jīng)足夠長時間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運動，根據(jù)動能定理和牛頓第二定律求出最低點小球所受的支持力大小，根據(jù)能量守恒求出損失的機械能．

解答 解：（1）設(shè)小球到達最高點的最小速度為v_C，則有：
  mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，不受摩擦力，只有重力做功，機械能守恒，則從A到C的過程，由機械能守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.2}$=$\sqrt{10}$m/s  
（2）若v₀=3m/s，設(shè)此時小球到達最高點的速度為v_c′，克服摩擦力做的功為W，則在C′點，由牛頓第二定律得：
mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
從A到C′的過程，由動能定理得：
-2mgR-W=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：W=0.05J 
（3）經(jīng)足夠長時間后，小球在下半圓軌道內(nèi)做往復(fù)運動，設(shè)小球經(jīng)過最低點的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A點，由牛頓第二定律得：
N_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)，解得：N_A=3mg=3N  
設(shè)小球在整個運動過程中減少的機械能為△E，由功能關(guān)系有：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-mgR   
代入數(shù)據(jù)解得：△E=0.25J
答：（1）要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少$\sqrt{10}$m/s．
（2）小球在這段時間內(nèi)克服摩擦力做的功是0.05J．
（3）小球經(jīng)過最低點A時受到的支持力為3N，小球在整個運動過程中減少的機械能是0.25J．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和機械能守恒定律，綜合性較強，關(guān)鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態(tài)，運用合適的規(guī)律進行解答．