Question

宇航員在某星球表面完成下面實驗：如圖所示，在半徑為r的豎直光滑圓弧軌道內部，有一質量為m的小球（可視為質點），在最低點給小球某一水平初速度，使小球在豎直面內做圓周運動，測得軌道在最高點和最低點時所受壓力大小分別為F₁、F₂；已知該星球的半徑為R，引力常量G，試求：該星球的質量．

Answer 1

分析：在最高點和最低點靠合力提供向心力，根據最高點和最低點時所受壓力大小，結合牛頓第二定律和機械能守恒定律求出重力加速度的大小，根據萬有引力等于重力求出星球的質量．

解答：解：最高點：F1+mg=m

v12

r

最低點：F2-mg=m

v22

r

根據機械能守恒定律得：

1

2

mv12-

1

2

mv22=mg?2r
解得：F₂-F₁=6mg，g=

F2-F1

6m

．
根據GM=gR²
解得M=

R2(F2-F1)

6mG

．
答：該星球的質量為

R2(F2-F1)

6mG

．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律、機械能守恒定律、萬有引力等于重力這些知識點，綜合性較強，難度適中，需加強訓練．