Question

如圖所示，在空間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的方向垂直紙面向里，大小為B，光滑絕緣空心細(xì)管MN的長(zhǎng)度為h，管內(nèi)M端有一質(zhì)量為m、帶正電q的小球P，開(kāi)始時(shí)小球P相對(duì)管靜止，管帶著小球P沿垂直于管長(zhǎng)度方向的恒定速度u向圖中右方運(yùn)動(dòng)．設(shè)重力及其它阻力均可忽略不計(jì)．
（1）當(dāng)小球P相對(duì)管上升的速度為v時(shí)，小球上升的加速度多大？
（2）小球P從管的另一端N離開(kāi)管口后，在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的圓半徑R多大？
（3）小球P在從管的M端到N端的過(guò)程中，管壁對(duì)小球做的功是多少？

Answer 1

分析：（1）小球P相對(duì)管上升的速度為v，隨管勻速運(yùn)動(dòng)速度為u，求出小球的合速度，得出洛倫茲力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球上升的加速度．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球離開(kāi)N端管口時(shí)的豎直分速度，再求出小球離開(kāi)N端管口時(shí)的合速度，由圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球P在從管的M端到N端的過(guò)程中管壁對(duì)小球做的功．

解答：解：（1）設(shè)此時(shí)小球的合速度大小為v_合，方向與u的夾角為θ．
有：v合=

v2+u2

…①
cosθ=

u

v合

=

u

v2+u2

  …②
此時(shí)粒子受到的洛倫茲力f和管壁的彈力N如所示，由牛頓第二定律可求此時(shí)小球上升的加速度為：
a=fcosθ=

qv合Bcosθ

m

…③
聯(lián)立①②③解得：a=

quB

m

．
（2）由上問(wèn)a知，小球上升加速度只與小球的水平速度u有關(guān)，故小球在豎直方向上做加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球離開(kāi)N端管口時(shí)的豎直分速度為v_y，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：vy=

2ah

=

2quBh m

此時(shí)小球的合速度v=

u2+ v 2 y

=

u2+ 2quBh m

故小球運(yùn)動(dòng)的半徑為R=

mv

qB

=

1

qB

m2u2+2qumBh

（3）因洛化茲力對(duì)小球做的功為零，由動(dòng)能定理得管壁對(duì)小球做的功為：W=

1

2

mv2-

1

2

mu2=quBh．
答：（1）當(dāng)小球P相對(duì)管上升的速度為v時(shí)，小球上升的加速度a=

quB

m

；
（2）小球P從管的另一端N離開(kāi)管口后，在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的圓半徑R=

1

qB

m2u2+2qumBh

；
（3）小球P在從管的M端到N端的過(guò)程中，管壁對(duì)小球做的功W=quBh．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)的合成、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用．運(yùn)用動(dòng)能定理求變力做功是常用的方法．