Question

【題目】如圖，傾角 θ=37°的光滑且足夠長(zhǎng)的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)輪半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m=1 kg 的物體A和B用一勁度系數(shù)k=240 N/m 的輕彈簧連接，物體 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板 P 擋住。用一不可伸長(zhǎng)的輕繩使物體 A 跨過(guò)定滑輪與小環(huán)C連接，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行，小環(huán)C穿過(guò)豎直固定的光滑均勻細(xì)桿。當(dāng)環(huán)C位于Q處時(shí)整個(gè)系統(tǒng)靜止，此時(shí)繩與細(xì)桿的夾角α=53°，且物體 B 對(duì)擋板 P 的壓力恰好為零。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取。求：

（1）當(dāng)環(huán)C位于Q處時(shí)繩子的拉力T和小環(huán)C的質(zhì)量M；

（2）現(xiàn)讓環(huán) C從位置 R由靜止釋放，位置R與位置Q關(guān)于位置 S 對(duì)稱，圖中SD水平且長(zhǎng)度為 d=0.2 m，求：

①小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率 v；

②小環(huán)C從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過(guò)程中輕繩對(duì)環(huán)做的功。

Answer 1

【答案】（1）12N，（2）①②

【解析】試題分析：（1）該題中，共有ABC三個(gè)物體與彈簧組成一個(gè)系統(tǒng)，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對(duì)象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，即可求出C的質(zhì)量；（2）由機(jī)械能守恒定律即可求出C在位置Q的速度；（3）由幾何關(guān)系求出繩子RD段的長(zhǎng)度，再以B為研究對(duì)象，求出彈簧的伸長(zhǎng)量，以及后來(lái)的壓縮量，最后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C的速度、動(dòng)能；由動(dòng)能定理求出輕繩對(duì)環(huán)做的功。

（1）先以AB組成的整體為研究對(duì)象，AB系統(tǒng)受到重力、支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)

根據(jù)平衡條件得：繩子的拉力為：

解得：

以C為研究對(duì)象，其受力分析，如圖

根據(jù)平衡條件得：

解得：

（2）①環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到Q位置的過(guò)程中，對(duì)小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：

其中：

兩式聯(lián)立可得：

② 由題意，開始時(shí)B恰好對(duì)擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)；

對(duì)B受力分析，則有：

解得：彈簧的伸長(zhǎng)量

R到S時(shí)，A下降的距離為

此時(shí)彈簧的壓縮量

由速度分解可知此時(shí)A的速度為零，從R運(yùn)動(dòng)到S的過(guò)程中,初末態(tài)的彈性勢(shì)能相等

對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒有：

解得：

從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過(guò)程中，對(duì)小環(huán)C由動(dòng)能定理可知：

解得: