Question

12．如圖所示，繃緊的傳送帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持v₀的速度勻速運(yùn)行，傳送帶與水平面成30°角，現(xiàn)把一個(gè)質(zhì)量m=10kg的工件以初速度v₁=4m/s的速度沿傳送帶方向由底端拋到傳送帶上，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，工件被送到高h(yuǎn)=1m的平臺(tái)上，已知工件與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g取10m/s²．
（1）若使物體被傳送到頂端，則皮帶運(yùn)行的速度至少為多大？
（2）在滿足（1）的條件下，物體被傳送的過(guò)程中物體相對(duì)與傳送帶的路程是多少？
（3）物塊在皮帶上留下的劃痕有多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）工件重力沿斜面向下的分力大于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)滑塊速度與傳送帶速度相等時(shí)，不能保持相對(duì)靜止，分別討論滑塊速度大于傳送帶速度和滑塊速度小于傳送帶速度的情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析判斷，得出皮帶運(yùn)行的最小速度．
（2、3）根據(jù)工件和傳送帶的位移大小，得出物體相對(duì)傳送帶的路程，從而得出留下的劃痕．

解答 解：（1）因?yàn)楣ぜ�重力沿斜面向下的分力大于滑�?dòng)摩擦力，當(dāng)滑塊速度與傳送帶速度相等時(shí)，不能保持相對(duì)靜止，滑塊會(huì)相對(duì)傳送帶向下滑．
若滑塊的速度大于傳送帶速度，
則滑塊向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，$a=\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ=$10×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=7.5m/s²，
滑塊速度減為零的位移$x=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{16}{15}m＜\frac{h}{sinθ}$，可知滑塊不能被傳送到頂端．
若滑塊的速度小于傳送帶速度，
滑塊向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小a=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=$gsinθ-μgcosθ=10×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2.5m/s²，
速度減為零的位移$x=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{16}{2×2.5}m=3.2m＞\frac{h}{sinθ}$，知滑塊能被傳送到頂端．
則傳送帶的速度至少為4m/s．
（2）滑塊向上勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移x=2m，加速度大小為2.5m/s²，初速度為4m/s，
根據(jù)$x={v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，t≈0.6s，
傳送帶的位移x′=v′t=4×0.6m=2.4m，
物體被傳送的過(guò)程中物體相對(duì)與傳送帶的路程s=x′-x=2.4-2m=0.4m．
（3）物塊在皮帶上留下的劃痕等于物體相對(duì)傳送帶的路程，即為0.4m．
答：（1）若使物體被傳送到頂端，則皮帶運(yùn)行的速度至少為4m/s．
（2）物體被傳送的過(guò)程中物體相對(duì)與傳送帶的路程是0.4m．
（3）物塊在皮帶上留下的劃痕有0.4m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清工件在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，得出工件運(yùn)動(dòng)規(guī)律是關(guān)鍵．