Question

5．無線充電的原理如下圖所示：通過插座上的電流轉(zhuǎn)化器，將電能轉(zhuǎn)化為超聲波，用電設(shè)備上的接收器捕獲獲超聲波，再轉(zhuǎn)化為電能給設(shè)備充電．接收器單位面積上接收到的超聲波功率與接收器和電流轉(zhuǎn)化器之間距離s的平方成反比，其將超聲波轉(zhuǎn)化為電能的轉(zhuǎn)化效率為η₁．

某電動小車（含接收器）質(zhì)量為m，其電池將電能轉(zhuǎn)為機(jī)械能的效率為η₂．用該裝置給其充電：當(dāng)s=s₀時，經(jīng)過時間t₀，小車剛好充滿電，然后啟動小汽車，小汽車經(jīng)過足夠長的距離（電能已耗盡）后進(jìn)入一個半徑為R的豎直放置的圓形軌道的內(nèi)側(cè)，在最高點時對軌到的壓力大小恰為小車重力大小．不計一切摩擦，小車可視為質(zhì)點，電池在充滿電后會自動停止充電，己知重力加速度為g．求：
（1）電動小車在最高點的速度大小v；
（2）電動小車上的接收器接收到的超聲波功率P；
（3）要使小車不脫離圓形軌道做完整的圓周運(yùn)動，充電時間t與距離s應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）電動小車在最高點受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）根據(jù)機(jī)械能定義求解出小車的機(jī)械能，根據(jù)能量守恒定律列式求解接收器接受到的超聲波的功率P；
（3）要使小車不脫離圓形軌道做完整的圓周運(yùn)動，則小車能達(dá)到最高點，根據(jù)能量守恒定律列式分析即可．

解答 解：（1）在最高點：mg+F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又F_N=mg
解得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）設(shè)小車在水平軌道上的動能為E_k，從水平軌道到最高點滿足機(jī)械能守恒，即
E_k=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_k=3mgR
又電動小車的電池將電能耗盡，部分轉(zhuǎn)化為小車的機(jī)械能，即
E_k=Pt₀η₁η₂
故可得：
P=$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$
（3）要使小車不脫離圓形軌道做完整的圓周運(yùn)動，若恰好達(dá)到軌道最高點，則
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
從水平軌道到最高點滿足機(jī)械能守恒
${E}_{k1}=mg（2R）+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
又E_k1=P₁tη₁η₂
由以上各式可得：
$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k1}}=\frac{{Pt}_{0}}{{P}_{1}t}=\frac{3mgR}{2.5mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{{s}_{0}}^{2}}$
故$t=\frac{5{s}^{2}}{6{{s}_{0}}^{2}}$t₀，
即此時恰到達(dá)最高點，故能通過最高點的條件是$t≥\frac{5{s}^{2}}{6{{s}_{0}}^{2}}$t₀．
答：（1）電動小車在最高點的速度大小v為$\sqrt{2gR}$；
（2）電動小車上的接收器接收到的超聲波功率P為$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$；
（3）要使小車不脫離圓形軌道做完整的圓周 運(yùn)動，充電時間t與距離s應(yīng)滿足$t≥\frac{5{s}^{2}}{6{{s}_{0}}^{2}}$．

點評 本題關(guān)鍵明確小車的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律列式求解，注意恰好到達(dá)最高點的條件，難度適中．